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The Project Gutenberg EBook of Über die Picard'schen Gruppen aus dem
Zahlkörper der dritten und der vierten Einheitswurzel, by Otto Bohler

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
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with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Über die Picard'schen Gruppen aus dem Zahlkörper der dritten und der vierten Einheitswurzel

Author: Otto Bohler

Release Date: October 4, 2010 [EBook #34032]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÜBER DIE PICARD'SCHEN ***


Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
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Über die Picard'schen Gruppen aus dem Zahlkörper
der dritten und der vierten Einheitswurzel.

Inaugural-Dissertation

zur

Erlangung der philosophischen Doktorwürde

vorgelegt der

Hohen philosophischen Fakultät

(Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion)

der

UNIVERSITÄT ZÜRICH

von

Otto Bohler

aus Seengen (Aargau).

Begutachtet von den Herren
Prof.~Dr.~H. Burkhardt
Prof.~Dr.~A. Hurwitz.

Zürich

Druck von Zürcher \& Furrer

1905

Kommissionsverlag von Ed.~Rascher's Erben

Meyer \& Zeller's Nachfolger.
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der dritten und der vierten Einheitswurzel.}

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{\large Inaugural-Dissertation}

\vspace{0.5\baselineskip}

{\tiny zur}

\vspace{0.5\baselineskip}

Erlangung der philosophischen Doktorwürde

\vspace{0.5\baselineskip}

{\tiny vorgelegt der}

\vspace{0.5\baselineskip}

Hohen philosophischen Fakultät

{\scriptsize (Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion)}

\vspace{0.5\baselineskip}

{\tiny der}

\vspace{0.5\baselineskip}

UNIVERSITÄT ZÜRICH

\vspace{0.5\baselineskip}

{\tiny von}

\vspace{0.5\baselineskip}

\textbf{Otto Bohler}

{\scriptsize aus Seengen (Aargau).}

\vspace{\baselineskip}


\hspace{8cm}\begin{minipage}[b]{0.4\linewidth}
{\tiny Begutachtet von den Herren}

\vspace{-0.5\baselineskip}
{\tiny Prof.~Dr.~H. Burkhardt}

\vspace{-0.5\baselineskip}
{\tiny Prof.~Dr.~A. Hurwitz.}
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{\footnotesize Zürich}


{\scriptsize Druck von Zürcher \& Furrer}

{\scriptsize 1905}

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\begin{tabular}{@{}r p{5in} @{} r @{}}
\multicolumn{2}{c}{\bf Inhalts-Verzeichnis.}\\[1ex]
\multicolumn{2}{c}{\bf I.\ Einleitung.} & Seite\\[1ex]

§ 1.& Stellung der Aufgabe  &    \pageref{1}\\

§ 2.& Darstellung der komplexen Zahlen durch die Punkte einer Kugel   &   \pageref{2}\\

§ 3.& Hülfssatz   &   \pageref{3}\\

§ 4.& Der hyperbolische Abstand des Punktes $(a'\,b'\,b'_0\,c')$ von der Sehne
$(0\,\infty)$    &  \pageref{4}\\

§ 5.& Die hyperbolische Entfernung der Sehne $(a'\,b'\,c')$ vom Mittelpunkt $M_0$
der Kugel $\frakK$    &  \pageref{5}\\

§ 6.& Lineare Transformationen  &    \pageref{6}\\[1ex]

\multicolumn{3}{c}{\bf II.\ Die Picardsche Gruppe.}\\[1ex]

§ 7.& Aufstellung der Picardschen Gruppe    &  \pageref{7}\\

§ 8.& Die Substitutionen $U$    &  \pageref{8}\\

§ 9.& Minimum der Entfernung des Punktes $(a\,b\,b_0\,c)$ von der Fundamentalsehne
$\sigma_0$  &    \pageref{9}\\

§ 10.& Der Diskontinuitätsbereich der Picardschen Gruppe    &    \pageref{10}\\

§ 11.& Die definite Hermitesche Form &     \pageref{11}\\

§ 12.& Die Theorie der Reduktion der definiten Hermiteschen Form    &  \pageref{12}\\

§ 13.& Der Algorithmus der Reduktion der definiten Hermiteschen Form   &   \pageref{13}\\

§ 14.& Die reduzierte Form    &  \pageref{14}\\

§ 15.& Die Dirichletsche Form  &    \pageref{15}\\

§ 16.& Einführung derjenigen Invariante, auf welche die Theorie der Transformationen
der Dirichletschen Form gegründet werden soll    &  \pageref{16}\\

§ 17.& Notwendige Bedingung dafür, dass die Sehne $(a\,b\,c)$ vom Punkte $M_0$
eine kleinste Entfernung habe    &  \pageref{17}\\

§ 18.& Theorie der Reduktion der Dirichletschen Form  &    \pageref{18}\\

§ 19.& Algorithmus der Reduktion der Dirichletschen Form     &   \pageref{19}\\

§ 20.& Die Kette der reduzierten Formen  &    \pageref{20}\\

§ 21.& Transformation einer Dirichletschen Form in sich   &   \pageref{21}\\

§ 22.& Das Oktaeder $O$   &   \pageref{22}\\[1ex]

\multicolumn{3}{c}{\bf III.\ Die Picardsche Gruppe aus dem Zahlkörper der dritten}\\
\multicolumn{3}{c}{\bf Einheitswurzel.}\\[1ex]

§ 23.& Aufstellung der Picardschen Gruppe $\Gamma_1$   &   \pageref{23}\\

§ 24.& Die Substitutionen $U$ der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$  &    \pageref{24}\\

§ 25.& Der Diskontinuitätsbereich der Gruppe $\Gamma_1$    &  \pageref{25}\\

§ 26.& Die Reduktion der definiten Hermiteschen Form    &  \pageref{26}\\

§ 27.& Die Reduktion der Dirichletschen Form   &   \pageref{27}
\end{tabular}

\newpage

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%[Blank Page]
%\File{011.png}

\Chapter{I.\ Einleitung.}

\Section{§ 1.}{Stellung der Aufgabe.}

Das Ziel, das die vorliegende Arbeit im Auge hat, ist möglichst
allgemein gefasst das folgende:

Wir betrachten eine beliebige Gruppe von linearen Transformationen;
sie werde mit $\Gamma$ bezeichnet und es soll $S$ eine aus der
Gesamtheit derselben beliebig herausgegriffene spezielle Transformation
bedeuten. Nun suchen wir im zwei- oder mehr-dimensionalen
Raume~$R$ jeder Transformation~$S$ der Gruppe~$\Gamma$ eindeutig
ein geometrisches Gebilde~$\sigma$ zuzuordnen. Dasselbe kann je nach
Wahl ein Punkt, eine Linie, eine Fläche oder ein drei- oder mehr-dimensionierter
Körper sein. Nehmen wir den Raum~$R$, wie das
später auch wirklich geschehen wird, so an, dass in ihm die Gruppe~$\Gamma$
eigentlich diskontinuierlich\footnote
  {Der Begriff \glqq{}eigentlich diskontinuierlich\grqq{} ist entnommen aus dem Buche:
  \glqq{}Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen\grqq{} von Fricke und Klein;
  vgl.\ daselbst I.~Band, pg.~62 u.~ff.

  Da wir späterhin noch gelegentlich auf dieses Werk zu verweisen haben,
  so wollen wir es künftig kurz mit Aut.~I (bezw.\ Aut.~II) bezeichnen, unter Anfügung
  der bezüglichen Seitenzahlen.}
ist, dann wird $\sigma$ in irgend einem Zusammenhange
stehen mit dem Diskontinuitätsbereich derselben. Umgekehrt
entsprechen dann auch jedem Gebilde~$\sigma$ ein oder mehrere
jedoch nur endlich viele Transformationen~$S$.

Nunmehr betrachten wir irgend eine Klasse von Formen, $f$ sei
ein beliebiges Individuum derselben, und suchen auch im Raume~$R$
ein zweites geometrisches Gebilde, das wir der Form~$f$ eindeutig
als Repräsentanten~$(f)$ derselben zuordnen wollen.

Wenn wir $\sigma$ und $(f)$ geeignet wählen, so wird es immer möglich
sein, eine einfache Invariante zwischen ihnen zu finden, und
in dieser erhält dann die Theorie der Transformationen, die der
Gruppe~$\Gamma$ angehören, für eine Form der betreffenden Klasse eine
sichere Basis. Vermutlich wird es auch möglich sein, eine Invariante
%\File{012.png}
zu finden, die in irgend einer Weise die Punkte des Diskontinuitätsbereiches
der Gruppe~$\Gamma$ charakterisiert.

Handelt es sich z.~B. um die Gruppe der reellen unimodularen
Substitutionen, angewendet auf irgend eine binäre quadratische Form,
so genügt es, als Raum~$R$ die Ebene anzunehmen\footnote
  {Vgl.: \glqq{}Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen\grqq{}
  von Klein. Dort ist die Theorie der fraglichen Transformationen vollständig übertragen
  auf Untersuchungen in der sog.\ $\zeta$-Halbebene, bezw.\ im Innern einer Ellipse,
  die als absolutes Gebilde einer hyperbolischen Massbestimmung anzusehen ist.

  Vgl.\ auch die Abhandlung: \glqq{}Über die Reduktion der binären quadratischen
  Form\grqq{} von Hurwitz, in Bd.~45 der Math.~Annalen. Diese letztere knüpft ihre
  Untersuchungen ganz an die Betrachtung der hyperbolischen Ebene. Von einer
  Invariante zwischen $\sigma$ und $(f)$ wird in keiner der beiden eben zitierten Abhandlungen
  Gebrauch gemacht. Dagegen hat mir Herr Hurwitz ein noch unveröffentlichtes
  Manuskript zur Einsicht überlassen, worin auf eine solche Invariante
  wenigstens für den Fall der definiten binären quadratischen Form hingewiesen ist.}%
; besitzt jedoch
die Gruppe~$\Gamma$ und mit ihr die Formenklasse einen mannigfaltigeren
Aufbau, so reicht die Ebene zur Interpretation nicht mehr aus, wir
müssen den Raum von drei und mehr Dimensionen zu Hülfe nehmen.

In der hier vorliegenden Abhandlung ist das eben ausgesprochene
Problem gelöst für den Fall, dass die betrachtete Form eine definite
Hermitesche Form, bezw.\ eine Dirichletsche Form ist, während
die Gruppe~$\Gamma$ alle linearen Transformationen
\[
u = \frac{\alpha u' + \beta}{\gamma u' + \delta}
\]
umfasst, deren Koeffizienten der Bedingung genügen
\[
\alpha \delta - \beta \gamma = 1,
\]
und die entweder ganze komplexe Zahlen oder aber ganze Zahlen
von der Gestalt $u + \rho · v$ sind, wo $\rho$ eine imaginäre dritte Einheitswurzel
bedeutet. Der Terminologie von Fricke folgend, haben
wir im Titel die erstere Gruppe als Picardsche Gruppe aus dem
Zahlkörper der vierten, die letztere als Picardsche Gruppe aus dem
Zahlkörper der dritten Einheitswurzel bezeichnet; doch werden wir
fernerhin, wo eine Zweideutigkeit ausgeschlossen ist, die erstere
Gruppe, wie allgemein gebräuchlich, kurz Picardsche Gruppe nennen.

Im ersten Abschnitte, Kap.~I §~6 auf p.~76 u.~ff.\ der Aut.~I.~Bd.\
haben die Verfasser bereits ausgesprochen, dass die Picardsche
%\File{013.png}
Gruppe erst im drei-dimensionalen Raum (dort $\zeta$-Halbraum genannt)
eigentlich diskontinuierlich ist.

Während für die rein geometrischen Einsichten, die die Verfasser
in dem eben zitierten Werke bezwecken, die Anschauung im
$\xi$-Halbraum ihre unbedingten Vorteile hat, empfiehlt es sich, den
vorstehenden Untersuchungen nicht diesen $\zeta$-Halbraum zu grunde
zu legen, sondern vielmehr das Innere einer Kugel, die wir als
absolutes Gebilde einer hyperbolischen Massbestimmung ansprechen
wollen. Das Kugelinnere ist dann unser Raum~$R$.

Die geometrischen Repräsentanten $\sigma$ und~$(f)$ werden dann
einfacheren Charakters, und mit diesen auch die Invarianten, auf
die wir die Theorie der Transformationen basieren.

\Section{§ 2.}
{Darstellung der komplexen Zahlen durch die Punkte einer Kugel.\footnote
  {Man vgl.\ dazu Aut.~I, p.~44 u.~ff.}}

In §~1 wurde erwähnt, dass wir unsere Untersuchungen vorteilhaft
anknüpfen an die Betrachtung eines hyperbolischen Raumes.
Unser erstes Ziel ist die Einführung dieses Raumes.

\pngrightl{003.png}{329}{10}{-24}
Die Ebene der komplexen Zahlen~$u$ sei $\xi\,\eta$-Ebene in einem
rechtwinkligen räumlichen Koordinatensystem $(\xi\,\eta\,\theta)$ derart, dass
die $\xi$- und die $\eta$-Achse dieses
letztern sich decken sollen mit
der Achse der reellen bezw.\ derjenigen
der rein imaginären Zahlen.

Durch stereographische Projektion
vom Punkte~$(0\, 0\, 1)$ aus
ordnen wir eindeutig jedem Punkte
der Ebene der komplexen Zahlen
einen Punkt der Kugel
\[
\frakK: \xi^2 + \eta^2 + \theta^2 = 1
\]
zu; $\frakK$ sei abkürzende Bezeichnung
für dieselbe.

Ist $u$ die komplexe Zahl, die einem bestimmten Punkte der
$\xi\,\eta$-Ebene entspricht, so soll dieselbe Zahl auch dem korrespondierenden
%\File{014.png}
 Punkte von $\frakK$ als Parameter beigelegt werden. Der
Kürze des Ausdruckes wegen wollen wir auch fernerhin unter $u$
nicht nur den Parameter des Kugelpunktes, sondern auch diesen
selber verstehen.

Ist $u$ eine beliebige komplexe Zahl, so soll in Zukunft immer
die Anfügung des Index~$0$ an dieselbe, also $u_0$, die zu jener konjugiert
komplexe Zahl bedeuten.

Zwischen den Koordinaten $(\xi\,\eta\,\theta)$ und dem Parameter~$u$ des
Kugelpunktes findet man die folgenden Beziehungen
\[
\frac{\xi}{1 - \theta} = \frac{u + u_0}{2}, \qquad
  \frac{\eta}{1 - \theta} = \frac{u - u_0}{2i}.
\]
und aus diesen folgt an Hand der Gleichung für~$\frakK$:
\[
1 + \theta : \xi + i \eta : \xi - i \eta : 1 - \theta = u u_0 : u : u_0 : 1.
\tag{1}
\]
Sind $(\xi\,\eta\,\theta)$ die Koordinaten eines beliebigen Raumpunktes,
so wollen wir vier Zahlen $(x\,y\,y_0\,z)$, von denen $x$ und~$z$ reell, $y$
und~$y_0$ aber konjugiert komplex sind, bilden, die den Proportionen
\[
x : y : y_0 : z = 1 + \theta : \xi + i \eta : \xi - i \eta : 1 - \theta
\tag{2}
\]
genügen. Sie sind dadurch bis auf einen reellen, unbestimmt bleibenden
Faktor eindeutig bestimmt. Wir sprechen dieselben an
als homogene Koordinaten des betreffenden Punktes. Das hierbei
zugrunde gelegte Koordinatentetraeder ist gebildet von Tangentialebenen
in den Punkten $0$ und~$\infty$ an die Kugel~$\frakK$ und von zwei
konjugiert imaginären Ebenen, die sich in der $\theta$-Achse des ursprünglichen
Koordinatensystemes schneiden; es sind die durch die
$\theta$-Achse an die Kugel~$\frakK$ gehenden Tangentialebenen.

Zufolge (1) und~(2) werden die homogenen Koordinaten des
Kugelpunktes~$u$ aus
\[
x : y : y_0 : z = u u_0 : u : u_0 : 1
\tag{3}
\]
erhalten, woraus umgekehrt
\[
u = \frac{y}{z},  \qquad  u_0 = \frac{y_0}{z},  \qquad  u u_0 = \frac{x}{z}
\tag{4}
\]
folgt. Wie man aus~(4) ersieht, genügen die Koordinaten der
Kugelpunkte der Gleichung
\[
y y_0 - x z = 0,
\tag{5}
\]
es ist dies die Gleichung der Kugel~$\frakK$ in unsern Koordinaten.
%\File{015.png}

Diese Kugel werden wir in der Folge ansehen als absolutes
Gebilde einer hyperbolischen Massbestimmung, die im Innern von
$\frakK$ reell sein soll, und diesen hyperbolischen Raum fassen wir auf
als denjenigen Raum~$R$, von dem wir im vorangehenden Paragraphen
gesprochen haben.

Wir wollen noch einige Bemerkungen folgen lassen.

Nach (2) ist
\[
y y_0 - x z = \rho^2 (\xi^2 + \eta^2 + \theta^2 - 1),
\]
wo $\rho$ einen reellen Proportionalitätsfaktor bedeutet. Für Punkte
im Innern von $\frakK$ ist $\xi^2 + \eta^2 + \theta^2 - 1 < 0$, daher:

\Rmk{1. Bemerkung.} Ist $(x\,y\,y_0\,z)$ ein Punkt im Innern der
Kugel $\frakK$, so genügen seine Koordinaten der Ungleichung
\[
y y_0 - x z < 0.
\tag{6}
\]

Da es bei den homogenen Koordinaten eines Punktes nur
auf das Verhältnis $(x : y : y_0 : z)$ ankommt, so kann man ohne
Störung der Allgemeinheit ein für allemal die Voraussetzung treffen
$x \geq 0$. Wir sagen:

\Rmk{2. Bemerkung.} Sind $(x\,y\,y_0\,z)$ die homogenen Koordinaten
eines beliebigen Raumpunktes, so soll immer $x \geq 0$ sein. Ist dieser
Punkt ein innerer Punkt der Kugel~$\frakK$, so folgt aus~(6), dass nicht
nur $x > 0$ ist, sondern auch $z > 0$ sein muss.

Ferner, sind $(a\,b\,b_0\,c)$ die homogenen Koordinaten eines beliebigen
aber festen Punktes, und sind ferner $u$ und $v$ komplexe
Veränderliche, dann kann man die Koordinaten eines variablen
Punktes $(x\,y\,y_0\,z)$ der Kugelfläche in folgender Weise durch die
Veränderlichen $u$ und $v$ ausdrücken
\[
x : y : y_0 : z = v v_0 : -u_0 v : -u v_0 : u u_0
\tag{7}
\]
--- vgl.~(3) indem man dort an Stelle von $u -\dfrac{v}{u}$ einsetzt. ---
Nun ist die Gleichung der Polarebene des Punktes $(a\,b\,b_0\,c)$ bezüglich
der Kugel $\frakK$ in den laufenden Koordinaten $(x, y, y_0, z)$ die
folgende
\[
c x - b_0 y - b y_0 + a z = 0.
\tag{8}
\]

Für alle Punkte des Raumes, die auf ein und derselben Seite
dieser Ebene liegen, hat daher das Polynomen der linken Seite
%\File{016.png}
von~(8) beständig dasselbe Vorzeichen. Setzt man nun an Stelle
von $(x\,y\,y_0\,z)$ gemäss~(7) die Variablen $u$ und~$v$ ein, so wird der
Ausdruck
\[
a u u_0 + b u v_0 + b_0 u_0 v + c v v_0
\tag{9}
\]
für alle Kugelpunkte, die auf derselben Seite der Polarebene des
Punktes $(a\,b\,b_0\,c)$ liegen, dasselbe Vorzeichen besitzen.

Hat mithin die Polarebene~(8) mit der Kugel~$\frakK$ keinen Punkt
gemeinschaftlich, so hat für alle Punkte derselben das Polynom~(9)
dasselbe Vorzeichen. Nach Bemerkung~2 ist $a > 0$, so erkennt
man, dass etwa für den Kugelpunkt $(0\, 0\, 0\, 1)$, wo $u = 1$, $v = 0$
zu nehmen ist
\[
a u u_0 + b u v_0 + b_0 u_0 v + c v v_0 = a > 0
\]
wird. Es folgt daraus:

\Rmk{3. Bemerkung.} Ist der Punkt $(a\,b\,b_0\,c)$ ein innerer Punkt
der Kugel, genügen also seine Koordinaten nach~(6) der Ungleichung
\[
b b_0 - a c < 0,
\]
dann ist für alle Punkte von~$\frakK$, d.~h.\ für alle Werte von $u$ und~$v$
die Ungleichung erfüllt
\[
a u u_0 + b u v_0 + b_0 u_0 v + c v v_0 > 0.
\]


\Section{§ 3.}{Hülfssatz.}

Wir lassen hier zunächst einen Hülfssatz folgen, der sich bezieht
auf das Minimum einer rationalen homogenen Funktion, wenn
die Veränderlichen nur diskrete Wertesysteme durchlaufen.

Der Kürze des Ausdruckes wegen wollen wir $n$ beliebige
reelle Werte $(x_1\,x_2\,\dots\,x_n)$ als Koordinaten eines Punktes~$P$ im
$n$-dimensionalen Raum auffassen. Mit $M$ wollen wir die Gesamtheit
derjenigen Punkte bezeichnen, für welche
\[
x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 1
\]
erfüllt ist.

Es sei nun $F$ eine reelle, ganze, rationale, homogene Funktion
$N^\text{\emph{ten}}$~Grades, wo $N > 0$ vorausgesetzt werde, der $n$~Veränderlichen
$x_1\,x_2 \dots x_n$.
%\File{017.png}

$F$ wird innerhalb der Menge~$M$ ein gewisses Minimum~$m$ und
ein gewisses Maximum~$M$ erreichen, die beide dasselbe Vorzeichen
haben\footnote
  {Wir wollen das $+$ voraussetzen.}
und es ist dann für jeden Punkt von $M$
\[
m \leq F(x_1\,x_2 \dots x_n) \leq M
\]
erfüllt.

Bedeuten nun $x_1\,x_2 \dots x_n$ die Koordinaten eines beliebigen
Punktes des Raumes, der vom Punkte $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$ verschieden
ist, so lässt sich der Faktor~$\rho$ immer so bestimmen, dass
der Punkt $\rho x_1, \rho x_2, \dots \rho x_n$ der Menge~$M$ angehört, es muss nur
\[
\rho = \frac{1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots  + x_n^2}}
\]
sein. Da nun~$N$ der Grad der Funktion~$F$ ist, so muss für einen
solchen Punkt die Beziehung $m \leq \rho^N · F (x_1\,x_2 \dots x_n) \leq M$ oder also
\[
m · \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}^N \leq F(x_1\,x_2 \dots x_n) \leq M \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}^N
\tag{1}
\]
erfüllt sein.

Nimmt man nun an $x_1\,x_2 \dots x_n$ seien nicht kontinuierlich veränderlich,
sondern es handle sich nur um solche Wertesysteme
$x_1\,x_2 \dots x_n$, die aus $n$ ganzen rationalen, nicht sämtlich verschwindenden
Zahlen gebildet sind; dann gilt der Satz:
\begin{quote}
\hspace*{1.5em}\glqq{}Es wird $F(x_1\,x_2 \dots x_n)$ für ein oder mehrere, aber immer
nur für endlich viele solcher Wertesysteme zu einem Minimum.\grqq{}
\end{quote}

Denn, sei $G$ der Wert, welchen $F(x_1\,x_2 \dots x_n)$ für irgend ein
ganzzahliges System $x_1 = x_1^0$, $x_2 = x_2^0$, \dots, $x_n = x_n^0$ annimmt,
diejenigen Wertesysteme $x_1\,x_2 \dots x_n$, für welche
\[
F(x_1\,x_2 \dots x_n) \leq G
\]
wird, müssen dann zufolge~(1) auch der Bedingung
\[
m · \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}^N \leq G
\]
genügen. Da nach Voraussetzung $m > 0$ und $N > 0$ ist, so erkennt
man, dass es solcher Wertesysteme nur endlich viele geben
%\File{018.png}
kann, und unter diesen müssen auch diejenigen enthalten sein,
für welche $F (x_1\,x_2 \dots x_n)$ zu einem Minimum wird, womit die
Richtigkeit des obigen Satzes bewiesen ist.

\Section{§~4.}
{Der hyperbolische Abstand des Punktes $(a'\,b'\,b_0'\,c')$ von der
Sehne $(0, \infty)$.}

Wie schon früher angedeutet, fassen wir nun das Innere der
Kugel $\frakK$ auf als hyperbolischen Raum. $(a'\,b'\,b_0'\,c')$ seien die Koordinaten
eines beliebigen Punktes $P'$ desselben, $\sigma_0 = (0, \infty)$ soll die
im Innern von $\frakK$ gelegene Verbindungssehne der Kugelpunkte $0$
und $\infty$ bedeuten. Die Entfernung des Punktes $P'$ von der Sehne $\sigma_0$
wird dann in der folgenden Weise erhalten. Wir denken uns die
Polare $\tau_0$ zu $\sigma_0$ konstruiert, es ist das die unendlich ferne Gerade
der $\xi\,\eta$-Ebene des ursprünglichen Koordinatensystems. $\sigma_0$ und $\tau_0$
bestimmen dann mit dem Punkte $P'$ je eine Ebene, diese beiden
\pngrightl{004.png}{364}{7}{-24}
Ebenen schneiden sich in derjenigen Transversalen $t$, die durch $P'$
hindurchgeht, die Sehne $\sigma_0$ schneidet
und ausserdem parallel ist zu
der schon genannten $\xi\,\eta$-Ebene. Sei
$R'$ der Schnittpunkt von $t$ mit $\sigma_0$
und seien ausserdem $Q_1$ und $Q_2$ die
beiden (reellen) Schnittpunkte der
Transversalen $t$ mit $\frakK$, so wollen wir mit $V$ das Doppelverhältnis
\[
V = (P'\,R'\,Q_1\,Q_2) = \frac{P' - Q_1}{P' - Q_2} : \frac{R' - Q_1}{R' - Q_2}
\]
bezeichnen. Die gesuchte Entfernung wird dann, abgesehen von
einem konstanten Faktor, gleich
\[
\left|\lg V\right|.
\]

Dieselbe ist im wesentlichen nur von $V$ abhängig, sie ändert
sich daher bei projektiven Umformungen von $V$ nicht.

Sind nun $(\xi\,\eta\,\theta)$ die rechtwinkligen Koordinaten von $P'$, so
sind $(0\,0\,\theta)$ diejenigen des Punktes $R'$; sind also $(a'\,b'\,b_0'\,c')$ die
homogenen Koordinaten von $P'$, so folgt aus (2)~§~2, dass $(a'\,0\,0\,c')$
diejenigen von $R'$ sein müssen.
%\File{019.png}

Die Gleichungen von $t$ lauten daher, unter $\lambda$ einen Parameter
verstanden,
\begin{alignat*}{3}
&x     &&= (1 + \lambda)    \,     &&a' \\
&y     &&=                         &&b' \\
&y_0   &&=                         &&b_0' \\
&z     &&= (1 + \lambda)           &&c'.
\end{alignat*}

Um die Koordinaten von $Q_1$ und~$Q_2$ zu erhalten oder in letzter
Linie das Doppelverhältnis~$V$, setzen wir die Ausdrücke für $x$ usw.\
ein in die Gleichung der Kugel ((5)~§~2) und erhalten
\[
(1 + \lambda)^2 · a' c' - b' b_0' = 0,
\]
woraus
\[
\lambda_{1,2} = -1 ± \sqrt{\frac{b' b_0'}{a' c'}}
\]
folgt. Anderseits wird das Doppelverhältnis
\[
V = (P'\, R'\, Q_1\, Q_2) = (0\, \infty\, \lambda_1\, \lambda_2) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2},
\]
so dass, wenn man die Werte für $\lambda_1$ und~$\lambda_2$ oben entnimmt und
einsetzt,
\[
V = \frac{1 + \sqrt{\frac{b' b_0'}{a' c'}}}{1 - \sqrt{\frac{b' b_0'}{a' c'}}}
\]
herauskommt.

Setzen wir für einen Augenblick
\[
\sqrt{\frac{b' b_0'}{a' c'}} = \kappa,
\]
so genügt $\kappa$ der Ungleichung\label{ungl}
\[
0 \leq \kappa < 1.
\]
Denn es ist $(a'\, b'\, b_0'\, c')$ ein Punkt im Innern von $\frakK$, seine Koordinaten
genügen mithin der Ungleichung $b'\, b_0' - a'\, c' < 0$, vgl.~(6)~§~2, woraus
die Bedingung für $\kappa$ als Korollar sich ergibt.

Die Funktion~$e^z$ besitzt die Eigenschaft, dass (für reelle Werte
von~$z$) immer wenn
\[
z' > z \text{ auch } e^{z'} > e^z
\]
ist. Daraus folgt nun: Sind $\kappa$ und~$\kappa'$ die Werte, die $\sqrt{\frac{b' b_0'}{a' c'}}$ annimmt
%\File{020.png}
für einen ersten und für einen zweiten Punkt, und soll die
Entfernung des zweiten Punktes von $\sigma_0$ grösser sein als die des
ersten Punktes, dann muss
\[
\lg \frac{1 + \kappa'}{1 - \kappa'} > \lg \frac{1 + \kappa}{1 - \kappa}
\]
sein, und dieselbe Ungleichung muss auch erfüllt sein, wenn man
die linke und die rechte Seite je zum Exponenten von~$e$ erhebt.
So kommt man auf die Bedingung
\[
\frac{1 + \kappa'}{1 - \kappa'} > \frac{1 + \kappa}{1 - \kappa},
\]
oder indem man mit den stets positiven Nennern erweitert und
zusammenzieht,
\[
\kappa' > \kappa.
\]

Daraus folgert man: Soll innerhalb eines Systemes von Punkten
die Entfernung des Punktes~$P'$ von der Sehne~$\sigma_0$ ein Minimum
werden, so muss notwendig $\kappa$ selber ein Minimum werden, oder
aber es muss auch $\kappa^2 - 1$ ein Minimum werden. --- In der Tat,
ist $\kappa' > \kappa$, so kann nie $\kappa^2 - 1 > \kappa'^2 - 1$ sein, wie man sofort verifiziert,
wenn man die Ungleichung p.~\pageref{ungl} unten, der sowohl $\kappa$ als $\kappa'$
genügen, mit berücksichtigt.

Es ergibt sich mithin der Satz:
\begin{quote}
\hspace*{1.5em}\glqq{}Soll die Entfernung des Punktes $(a'\,b'\,b'_0\,c')$ von der
Sehne $(0, \infty)$ eine kleinste sein, so muss der Quotient
$\dfrac{b' b_0' - a' c'}{a' c'}$ ein Minimum sein.\grqq{}
\end{quote}


\Section{§ 5.}
{Die hyperbolische Entfernung der Sehne~$(a'\,b'\,c')$ vom Mittelpunkt~$M_0$
der Kugel~$\frakK$.}

Es seien $a'\,b'\,c'$ die komplexen Koeffizienten der quadratischen
Gleichung
\[
a' \zeta^2 + 2b' \zeta + c' = 0.
\tag{1}
\]

Sind dann $\zeta_1$ und~$\zeta_2$ die Wurzeln der Gleichung~(1), so entsprechen
denselben zwei bestimmte Punkte der Kugelfläche~$\frakK$.
Wir denken uns dieselben durch eine Gerade verbunden. Auf diese
Weise kann jeder Gleichung~(1) eindeutig eine Sehne im Innern
%\File{021.png}
von~$\frakK$ zugeordnet werden. Wir wollen dieselbe durch $(a'\,b'\,c')$ bezeichnen.
Ist die Diskriminante~$b'^2 - a' c'$ der obigen Gleichung
von Null verschieden, so hat die Sehne~$(a'\,b'\,c')$ mit dem Innern
der Kugel immer Punkte gemein.

Wir suchen nun die Entfernung des Mittelpunktes~$M_0$ der
Kugel~$\frakK$ von der Sehne~$(a'\,b'\,c')$. Sie wird auf folgende Weise
erhalten. Man denkt sich die Polare~$p'$ zu $(a'\,b'\,c')$ konstruiert und
bestimmt dann diejenige Transversale~$t$ durch~$M_0$, die sich als
Schnitt der beiden Ebenen $(M_0, (a'\,b'\,c'))$ und~$(M_0, p')$ ergibt. Sei
$F'$ der Schnittpunkt von $t$ mit~$(a'\,b'\,c')$, und seien $Q_1$ und~$Q_2$ diejenigen
von~$t$ mit~$\frakK$, dann ist, abgesehen von einem unwesentlichen
konstanten positiven Faktor, die gesuchte Entfernung gegeben durch
\[
\left|\lg V\right|,
\]
wo $V$ das Doppelverhältnis bedeutet
\[
V = (F'\,M_0\,Q_1\,Q_2) = \frac{F' - Q_1}{F' - Q_2} : \frac{M_0 - Q_1}{M_0 - Q_2}.
\]

Sind $(\fraka, \frakb, \frakb_0, \frakc)$ die homogenen Koordinaten eines Punktes
der Kugel~$\frakK$, dann wird die Gleichung der Tangentialebene in
diesem Punkte die folgende
\[
\frakc x - \frakb_0 y - \frakb y_0 + \fraka z = 0.
\]
Nun haben die Endpunkte der Sehne $(a'\,b'\,c')$, --- das sind die
Schnittpunkte derselben mit $\frakK$ --- die folgenden Koordinaten
\[
\zeta_1 \zeta_{1_0}, \zeta_1, \zeta_{1_0} \text{ bezw.\ } \zeta_2 \zeta_{2_0}, \zeta_2, \zeta_{2_0}, 1
\]
vgl.~(3)~§~2. Nimmt man (aus~(1)) etwa
\[
\zeta_1 = \frac{-b' + \sqrt{D}}{a'}, \quad \zeta_2 = \frac{-b' - \sqrt{D}}{a'}, \text{ wo } D = b'^2 - a' c',
\]
so werden dieselben Koordinaten ausgedrückt durch $a', b', c'$ und~$D$
\[
b' b'_0 + \sqrt{D D_0} - (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D}),  \quad  a'_0 (\sqrt{D} - b'),  \quad  a' (\sqrt{D_0} - b'_0),  \quad  a' a'_0
\]
bezw.
\[
b' b'_0 + \sqrt{D D_0} + (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D}),  \quad  -a'_0 (\sqrt{D} + b'),  \quad  -a' (\sqrt{D_0} + b'_0),  \quad  a' a'_0.
\]
Die Polare~$p'$ ist nun bestimmt durch die beiden Gleichungen
%\File{022.png}
\begin{multline*}
a' a'_0 x - a' (\sqrt{D_0} - b'_0) y - a_0 (\sqrt{D} - b') y_0 \\
+ \left[b' b'_0 + \sqrt{D D_0} - (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D})\right] z = 0
\end{multline*}
\begin{multline*}
a' a'_0 x + a' (\sqrt{D_0} - b'_0) y + a'_0 (\sqrt{D} - b') y_0 \\
+ \left[b' b'_0 + \sqrt{D D_0} + (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D})\right]z = 0.
\end{multline*}
Bezeichnet man für einen Augenblick die Polynomen der linken
Seiten dieser Gleichungen mit~$t_1$ und bezw.~$t_2$ und ist $\lambda$ ein reeller
Parameter, so gibt
\[
t_1 - \lambda t_2 = 0
\]
eine durch $p$ hindurchgehende Ebene. Wir verfügen nun über $\lambda$
so, dass dieselbe durch den Punkt~$M_0$ hindurch geht, also für die
Koordinaten $(1, 0, 0, 1)$ erfüllt ist. Die bezüg\-liche Bedingung nach
$\lambda$ gelöst ist
\[
\lambda = \frac{a' a'_0 + b' b'_0 + \sqrt{D D_0} - (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D})}
  {a' a'_0 + b' b'_0 + \sqrt{D D_0} + (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D})}.
\]

Setzt man diesen Wert von~$\lambda$ ein in $t_1 - \lambda t_2 = 0$, so wird
die Gleichung der Ebene~$(M_0, p')$ die:
\begin{multline*}
(b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D}) x - (a' \sqrt{D_0} - c'_0 \sqrt{D})y \\
- (a_0' \sqrt{D} - c' \sqrt{D_0}) y_0 - (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D}) z = 0.
\end{multline*}

Ferner sind die Gleichungen der Sehne~$(a'\,b'\,c')$ ausgedrückt
durch einen Parameter~$\mu$ die folgenden
\begin{alignat*}{2}
&x   &&= (b' b'_0 + \sqrt{D D_0}) (1 + \mu) - (b' \sqrt{D_0} + b'_0 \sqrt{D}) (1 - \mu) \\
&y   &&= -a'_0 b' (1 + \mu) + a'_0 \sqrt{D} (1 - \mu) \\
&y_0 &&= -a' b'_0 (1 + \mu) + a' \sqrt{D_0} (1 - \mu) \\
&z   &&= a' a'_0 (1 + \mu).
\end{alignat*}

Indem man diese Ausdrücke einsetzt in die Gleichung der
Ebene~$(M_0, p')$, findet man zuerst den Parameter~$\mu$ aus der Proportion
\[
1 + \mu : 1 - \mu = a' a_0' + b' b'_0 + \sqrt{D D_0} : b' \sqrt{D_0} +b'_0 \sqrt{D},
\]
und nachdem man dies oben substituiert, hat man die Koordinaten
des Schnittpunktes~$F'$ selber; nämlich
%\File{023.png}
\[\tag{2}\begin{alignedat}{2}
&x &&= b' b_0' + c' c_0' + \sqrt{ D D_0}\\
&y &&= -(a_0' b' + b_0' c')\\
&y_0 &&= -(a' b_0' + b' c_0')\\
&z &&= a' a_0' + b' b_0' + \sqrt{ D D_0.}
\end{alignedat}\]

Nun sind zwei Punkte $M_0$ und $F'$ von $t$ bekannt, die Gleichungen
der Transversalen werden daher
\begin{alignat*}{2}
&x &&= b' b_0' + c' c_0' + \sqrt{ D D_0} - \lambda\\
&y &&= -(a_0' b' + b_0' c')\\
&y_0 &&= -(a' b_0' + b' c_0')\\
&z &&= a' a_0' + b' b_0' + \sqrt{ D D_0} - \lambda
\end{alignat*}
unter $\lambda$ ein Parameter verstanden. Um nun $Q_1$ und $Q_2$, und schliesslich
$V$ zu erhalten, setzen wir diese Ausdrücke ein in die Gleichung
$y y_0 - x z = 0$ von $\frakK$, und erhalten dann eine quadratische Gleichung
für $\lambda$. Die ist, nach einfacher Umrechnung des bekannten
Gliedes
\[
\lambda^2 - \lambda [a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' + 2 \sqrt{ D D_0}]
+ \sqrt{ D D_0} [a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' + 2 \sqrt{ D D_0}] = 0.
\]

Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist
\[
(a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' + 2 \sqrt{ D D_0}) (a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' - 2 \sqrt{ D D_0}).
\]

Seien $\lambda_1$ und $\lambda_2$ die Wurzeln der obigen Gleichung in $\lambda$, so
wird endlich
\[
V = (0\,\infty\,\lambda_1\,\lambda_2) = \tfrac{\lambda_1 }{ \lambda_2}
\]
oder also
\[
V = \frac{1 + \sqrt{\frac{ a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' - 2 \sqrt{ D D_0} }
                         { a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' + 2 \sqrt{ D D_0} }}}
	 {1 - \sqrt{\frac{ a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' - 2 \sqrt{ D D_0} }
	                 { a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' + 2 \sqrt{ D D_0} }}}
\]

Dieselbe Diskussion wie am Schluss des vorangehenden Paragraphen
ergibt: es muss
\[
\frac{-4 \sqrt{ D D_0} }{ a' a_0' + 2 b' b_0' + c' c_0' + 2 \sqrt{ D D_0}}
\]
ein Minimum werden, wenn $V$ ein Minimum werden soll.
%\File{024.png}

Wie man leicht erkennt, ist dies dann der Fall, wenn
\[
\frac{a' a_0 + 2b' b'_0 + c' c'_0 + 2 \sqrt{ D D_0} }{ 4 \sqrt{ D D_0}} =
\frac{a' a'_0 + 2b' b'_0 + c' c'_0 }{ 4 \sqrt{ D D_0}} + \frac{1}{2}.
\]
ein Minimum wird, woraus sich die Richtigkeit des folgenden
Satzes ergibt:

\begin{quote}
\hspace*{1.5em}\glqq{}Soll die Entfernung der Sehne ($a'\, b'\, c'$) vom Mittelpunkte
$M_0$ eine kleinste sein, so muss der Quotient
\[
\frac{a' a'_0 + 2 b' b'_0 + c' c'_0 }{ \sqrt{ D D_0}}
\]
ein Minimum werden.\grqq{}
\end{quote}


\Section{§ 6.}{Lineare Transformationen.}

In § 2 haben wir erstlich die Ebene der komplexen Zahlen
auf die Kugel $\frakK$ übertragen und sodann für jeden Punkt des
Raumes vier Zahlen ($x,\, y,\, y_0,\, z$) bestimmt, die wir als homogene
Koordinaten desselben ansprechen. Das entsprechende Koordinatentetraeder
steht, wie dort schon erwähnt wurde, in enger Beziehung
zur Kugel $\frakK$.

Es soll nun gezeigt werden, dass jeder linearen Substitution
der komplexen Veränder\-lichen $u$
\[
u' = \frac{\alpha u + \beta }{ \gamma u + \delta },   \tag{1}
\]
deren Determinante
\[
|S| = \alpha \delta - \beta \gamma \neq 0
\]
ist, und deren Koeffizienten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ beliebige komplexe Zahlen
sind, eine Kollineation des Raumes eindeutig zugeordnet werden
kann.

Es sei noch $S$ die Bezeichnung sowohl für das System
\[
 \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\\gamma & \delta
\end{pmatrix}
\]
als auch für die Substitution (1), die wir gelegentlich auch kurz durch
\[
u' = S(u)          \tag{$1'$}
\]
andeuten werden.
%\File{025.png}

Ist nun
\[
S_1 =
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \beta_1 \\ \gamma_1 & \delta_1
\end{pmatrix}
\]
ein zweites solches System, bezw.\ eine zweite lineare Transformation,
so entsteht durch Kombination von $S$ und $S_1$ die folgende
\[
S S_1 (u) = \frac{(\alpha \alpha_1 + \beta  \gamma_1) u + (\alpha \beta_1 + \beta  \delta_1)}
                 {(\gamma \alpha_1 + \delta \gamma_1) u + (\gamma \beta_1 + \delta \delta_1)}.
\]
Sie ergibt sich durch Zusammensetzung der Systeme $S$ und
$S_1$, wie
\[
 \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\\gamma & \delta
\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
\alpha_1 & \beta_1 \\ \gamma_1 & \delta_1
\end{pmatrix}
=  \begin{pmatrix} \alpha \alpha_1 + \beta \gamma_1 & \alpha \beta_1 + \beta \delta_1 \\
                              \gamma \alpha_1 + \delta \gamma_1 & \gamma \beta_1 + \delta \delta_1
\end{pmatrix} \]
zeigt. Die kombinierte Transformation sei mit $S S_1$ bezeichnet,
es gilt
\[
|S S_1| = |S| · |S_1|.      \tag{2}
\]

Durch die Substitution $S$ wird eindeutig einem Kugelpunkt $u$
ein zweiter Kugelpunkt $u'$ zugeordnet. Sind ($x\, y\, y_0\, z$) die homogenen
Koordinaten von $u$ ($x'\, y'\, y'_0\, z$) diejenigen von $u'$, so folgt
aus (1) oben und aus (3) § 2.
\[\tag{3}
\begin{alignedat}{5}
&x'   &&= \alpha \alpha_0 x &&+ \alpha \beta_0 y &&+ \alpha_0 \beta y_0 &&+ \beta \beta_0 z\\
&y'   &&= \alpha \gamma_0 x &&+ \alpha \delta_0 y &&+ \beta \gamma_0 y_0 &&+ \beta \delta_0 z\\
&y'_0 &&= \alpha_0 \gamma x &&+ \beta_0 \gamma y &&+ \alpha_0 \delta y_0 &&+ \beta_0 \delta z\\
&z'   &&= \gamma \gamma_0 x &&+ \gamma \delta_0 y &&+ \gamma_0 \delta y_0 &&+ \delta \delta_0 z\\
\end{alignedat}\]
wobei ein gemeinschaftlicher reeller Faktor von $x'\, y'\, y'_0\, z$, der unwesentlich
ist, unterdrückt wurde.

Das Gleichungssystem (3) stellt eine lineare Transformation
der homogenen Koordinaten des Kugelpunktes $u$ dar. Wir wollen
dieselbe auch mit $S$ bezeichnen, und es soll etwa das ganze
Gleichungssystem (3) kurz
\[\tag{$3'$}
(x'\, y'\, y'_0\, z') = S(x\, y\, y_0\, z)
\]
geschrieben werden.

Der nämlichen linearen Transformation (3) wollen wir nun
auch die Koordinaten eines beliebigen Raumpunktes unterwerfen.
Es bedeutet dann (3) eine Kollineation des Raumes, die auch mit
$S$ bezeichnet werden soll. Sie führt die Kugel $\frakK$ in sich über.
%\File{026.png}

Sei $\Sigma$ irgend ein System von Punkten, beispielsweise ein geometrisches
Gebilde, $\Sigma'$ das aus $\Sigma$ durch $S$ hervorgehende, so soll
\[
\Sigma' = S(\Sigma)
\]
gesetzt werden.

Aus dem Vorangehenden folgt nun, dass es möglich sein wird,
die Theorie der linearen Transformationen in Beziehung zu bringen
mit denjenigen projektiven Umformungen des Raumes, die eine
Kugel in sich transformieren. Die projektiven Invarianten, die
wir in den beiden vorigen Paragraphen gewonnen haben, können
uns daher bei dieser Theorie erwünschte Dienste leisten.

\Chapter{II.\ Die Picardsche Gruppe.}
\Section{§ 7.}{Aufstellung der Picardschen Gruppe.}


Zu der Picardschen Gruppe sollen alle diejenigen Substitutionen
\[
S =
 \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\\gamma & \delta
\end{pmatrix}
\tag{1}
\]
gehören, bei welchen $\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta$ ganze komplexe Zahlen sind, die noch
der Bedingung genügen $\alpha \delta - \beta \gamma = ± 1$. Da in S nur das Verhältnis
$\alpha : \beta : \gamma : \delta$ wesentlich ist, so kann man sich beschränken auf
\[
|S| = \alpha \delta - \beta \gamma = 1.     \tag{2}
\]
Denn ist $|S| = -1$, so genügt es, $\alpha\, \beta\, \gamma\, \delta$ mit $i$ zu erweitern,
um zu erreichen, dass (2) erfüllt ist. Bei gegebener Substitution
$S$ sind dann $\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta$ bis auf ihr Vorzeichen bestimmt. Die Gesamtheit
der Transformationen (1) der Picardschen Gruppe sei abkürz\-end
mit $\Gamma$\footnote
  {1 Vgl.\ Aut.~I, p.~76 u.~ff. Die Gruppe, die wir hier $\Gamma$ bezw.\ $\bar{\Gamma}$ bezeichnen,
ist dort $\Gamma_2$ bezw.\ $\Gamma$ benannt. Dagegen machen wir hier von denjenigen Gruppen,
die dort mit $\bar{\Gamma}$ bezeichnet sind keinen Gebrauch.
} bezeichnet.

Die Diskussion der später folgenden Untersuchungen kann oft
dadurch vereinfacht werden, dass man nicht nur die Substitutionen
der Gruppe $\Gamma$ zulässt, sondern dass man zu diesen noch diejenigen
%\File{027.png}
hinzunimmt, deren Koeffizienten ganze komplexe Zahlen sind, von
der Determinante
\[
\alpha \delta - \beta \gamma = i
\]
--- der Fall $\alpha \delta - \beta \gamma = -i$ ist offenbar darin inbegriffen. --- Wir
wollen, um uns später leicht orientieren zu können, eine solche
Substitution als zur Gruppe $\bar{\Gamma}$ gehörend bezeichnen.

Dass die Substitutionen von $\Gamma$ sowohl wie die von $\bar{\Gamma}$ eine
Gruppe bilden, folgt aus (2) § 6 sofort, und man erkennt auch:
es ist die Gruppe $\Gamma$ eine Untergruppe von $\bar{\Gamma}$.

In der Hauptsache sollen die später folgenden Untersuchungen
an die Gruppe $\Gamma$ geknüpft werden; insbesondere wollen wir die
Schlussergebnisse auf sie beziehen. Es möge noch folgende Festsetzung
getroffen werden. $S$ soll fernerhin im allgemeinen immer
eine Substitution der Gruppe $\Gamma$ andeuten; doch behalten wir uns
vor, damit gelegentlich auch eine Substitution aus $\bar{\Gamma}$ zu bezeichnen,
in welchem Falle wir das ausdrücklich erwähnen werden. $T$ dagegen
soll eine beliebige ganzzahlige Substitution $
 \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\\gamma & \delta
\end{pmatrix}
$ bedeuten,
so dass nur $|T| \neq 0$ ist.

Zunächst wollen wir nun der vorangegangenen Aufstellung
der Picardschen Gruppe eine Erörterung folgen lassen, die zum
Zwecke hat, jedem Individuum der Gruppe $\Gamma$ ein solches geometrisches
Gebilde eindeutig zuzuordnen, das uns später eine Invariante
liefern wird, die in einfacher Weise die Punkte des Diskontinuitätsbereiches
der Gruppe $\Gamma$ charakterisiert.

Ist $u = \dfrac{p }{ q}$ eine rationale komplexe Zahl, so kann man $p$ und $q$
als ganze komplexe Zahlen annehmen, die keinen gemeinschaftlichen
Teiler besitzen ausser den Einheitsfaktoren. Man nennt dann
$\dfrac{p }{ q}$ einen reduzierten Bruch. Bei einem solchen sind Zähler und
Nenner bestimmt bis auf eine Potenz von $i$, so dass $u = \dfrac{i^\epsilon · p }{ i^\epsilon · q}$ gesetzt
werden kann, wo $\epsilon = 0$, 1, 2, 3 zu nehmen ist.

Wir machen für die Zukunft die Voraussetzung, dass wenn
von der rationalen Zahl $u = \dfrac{p }{ q}$ die Rede ist, $\dfrac{p }{ q}$ als reduzierter
Bruch angenommen ist.

Zwei rationalen Punkten $u = \dfrac{p }{ q}$, $v = \dfrac{r }{ s}$ der Kugel $\frakK$ wollen
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wir die im Innern derselben gelegene Verbindungssehne $\sigma = \left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$
zuordnen. Der Wert der Determinante $ps-qr$ möge \so{Invariante}
der Sehne~$\sigma$ heissen. Die Invariante ist, nach einer früheren Bemerkung,
bei gegebener Sehne nur bis auf einen der vier Faktoren
$±1$, $±i$ bestimmt, und sie ändert auch ihr Vorzeichen, wenn
die Endpunkte der Sehne mit einander vertauscht werden.

Ist die Invariante einer Sehne~$\sigma$ eine Einheit, also $1$, $-1$, $i$,
oder $-i$, so soll dieselbe \so{Elementarsehne} genannt werden.
Aus derselben vorangehenden Bemerkung folgt dann auch, dass
man die Parameter $u$ und~$v$ einer Elementarsehne~$\sigma$ immer so ansetzen
kann, dass die Invariante $ps-qr = 1$ wird; und zwar
ist dieser Ansatz immer vierdeutig, wie $u = \dfrac{i^\epsilon · p}{i^\epsilon · q}$, $v = \dfrac{i^{-\epsilon} · r}{i^{-\epsilon} · s}$, wo
$\epsilon = 0$, 1, 2, 3 ist, lehrt.

Die Sehne~$\sigma_0 = \left(\dfrac{1}{0}, \dfrac{0}{1}\right) = (\infty, 0)$ ist eine solche Elementarsehne,
wir wollen diese \so{Fundamentalsehne} heissen.

Sei
\[
u' = \frac{\alpha u + \beta}{\gamma u + \delta}
\]
eine Substitution~$S$, dann geht durch dieselbe ein rationaler Punkt~$u$
der Kugel~$\frakK$ über in einen andern ebenfalls rationalen Punkt~$u'$
von~$\frakK$; und es geht die Sehne $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ in eine neue Sehne $\left(\dfrac{p'}{q'}, \dfrac{r'}{s'}\right)$
über. Eine einfache Rechnung zeigt, dass
\[
p' s' - q' r' = (\alpha \delta - \beta \gamma)(p s - q r)
\]
wird, woraus folgt
\begin{Prop}{1. Satz:}
\glqq{}Geht durch eine Substitution~$S$ eine Sehne $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ in
die andere Sehne $\left(\dfrac{p'}{q'}, \dfrac{r'}{s'}\right)$ über, so haben die beiden Sehnen
dieselbe Invariante. Insbesondere geht daher durch eine
Substitution~$S$\footnote
  {Der Satz behält seine Richtigkeit, wenn wir $S$ als eine Substitution der
  Gruppe~$\bar{\Gamma}$ ansehen.}
eine Elementarsehne immer wieder in eine
Elementarsehne über.\grqq{}
\end{Prop}

Es sollen nun alle Substitutionen~$T$ aufgesucht werden, die
eine gegebene Elementarsehne $\sigma = \left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ aus der Fundamentalsehne~$\sigma_0$
entstehen lassen.
%\File{029.png}

Es müssen dieselben der Gleichung
\[
\left(\frac{p}{q}, \frac{r}{s}\right) = T(\infty, 0) \text{ oder } = T(0, \infty)
\]
genügen. Eine spezielle derartige Substitution ist
\[
u' = \frac{p u + r}{q u + s},
\]
es ist dies eine $S$-Substitution, wir wollen sie mit
\[
u' = S(u)
\]
bezeichnen. Nun muss entweder
\[
T(\infty, 0) = S(\infty, 0) \text{ oder } T(0, \infty) = S(\infty, 0)
\]
sein. Im ersten Falle wird $(\infty, 0) = S^{-1} T(\infty, 0)$.

Bezeichnet man
\[
S^{-1} T = U_1, \text{ also dass } T = S U_1
\]
wird, so ist $U_1$ eine Substitution die der Bedingung genügt
$U_1(\infty, 0) = (\infty, 0)$, und die daher die Form haben muss
\[
u' = \frac{\alpha u}{\delta},
\]
wo $\alpha$ und $\delta$ beliebige ganze komplexe Zahlen sind, die der Bedingung
genügen $\alpha · \delta \neq 0$.

Im zweiten Falle wird $(\infty, 0) = S^{-1} T(0, \infty)$. Bezeichnet
man hier
\[
S^{-1} T = U_2, \text{ also dass } T = S U_2
\]
wird, so ist die Substitution~$U_2$ so beschaffen, dass $U_2 (0, \infty) = (\infty, 0)$
ist. $U_2$ muss daher die Form haben
\[
u' = \frac{\beta}{\gamma u}
\]
wo auch $\beta$ und $\gamma$ beliebige ganze komplexe Zahlen sind, die beide
von Null verschieden sein müssen. Es ergibt sich
\begin{Prop}{2. Satz:}
\glqq{}Alle Substitutionen~$T$, welche die Sehne~$\sigma_0$ überführen
in die Sehne $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$, ergeben sich durch Zusammensetzung
der Substitution~$\begin{pmatrix}p& r\\ q& s\end{pmatrix}$ mit einer beliebigen Substitution~$U$,
die eine der beiden typischen Formen
\[
u' = \frac{\alpha u}{\delta}, \text{ bezw.\ } u'= \frac{\beta}{\gamma u}
\]
annimmt.\grqq{}
\end{Prop}

%\File{030.png}
Greifen wir unter diesen Substitutionen diejenigen heraus, die
der Gruppe $\Gamma$ bezw.\ $\bar{\Gamma}$ angehören, so muss für diese
\begin{alignat*}{3}
&\text{entweder } &\alpha \delta &= i &\text{ oder } &= 1\\
&\text{bezüglich } &\beta \gamma &= i & \text{\glqq{}\ \ \ } &= 1
\end{alignat*}
sein. Man erhält daher die folgenden acht Substitutionen
\begin{alignat*}{4}
& \begin{pmatrix}1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,&\quad
& \begin{pmatrix}-i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} ,&\quad
& \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,&\quad
& \begin{pmatrix}0 & i  \\ i & 0 \end{pmatrix} ,\\
& \begin{pmatrix} i & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,&
& \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & i \end{pmatrix} ,&
& \begin{pmatrix} 0 & -i \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,&
& \begin{pmatrix} 0 & 1  \\-i & 0 \end{pmatrix} ,
\end{alignat*}
die der Gruppe $\bar{\Gamma}$ angehören und von denen diejenigen der ersten
Zeile in $\Gamma$ enthalten sind. Sie führen die Fundamentalsehne $\sigma_0$
in sich über und es sind das auch die einzigen derartigen Substitutionen
der Gruppe $\bar{\Gamma}$ bezw.\ $\Gamma$.

Die vorangehende Diskussion hat auf eine Zuordnung geführt
zwischen Elementarsehne $\sigma$ und Substitution $S =  \begin{pmatrix}p & r \\ q & s \end{pmatrix} $.  Wir
können nämlich $S$ die eindeutig bestimmte Sehne $ \begin{pmatrix}\dfrac{p }{ q}, & \dfrac{r }{ s} \end{pmatrix} $ entsprechen
lassen. Man erkennt auch, dass $\dfrac{p }{ q}$ und $\dfrac{r }{ s}$, die die Endpunkte
der Elementarsehne ergeben, reduzierte Brüche sind, denn
sonst könnte nicht $p s - q r = 1$ sein. Umgekehrt, ist $ \begin{pmatrix}\dfrac{p }{ q}, & \dfrac{r }{ s} \end{pmatrix} $
irgend eine Elementarsehne, so können wir ihr die folgenden
$S$-Substitutionen zuordnen
\[
 \begin{pmatrix}i^\epsilon p & i^{-\epsilon} r \\ i^\epsilon q & i^{-\epsilon} s \end{pmatrix}
\text{ und }
 \begin{pmatrix}-i^\epsilon r & i^{-\epsilon} p \\ -i^\epsilon s & i^{-\epsilon} q \end{pmatrix}
\text{ fur }
\epsilon = 0,\: 1,\: 2,\: 3.
\]

Da es nur auf das Verhältnis der Koeffizienten ankommt, so
erhalten wir daraus nur die folgenden vier verschiedenen Systeme
\[
 \begin{pmatrix}p & r \\ q & s \end{pmatrix} ,\quad
 \begin{pmatrix}-ip & ir \\ -iq & is \end{pmatrix} ,\quad
 \begin{pmatrix}-r & p \\ -s & q \end{pmatrix} ,\quad
 \begin{pmatrix}ir & ip \\ is & iq \end{pmatrix} .
\]

Es ergeben diese gerade diejenigen vier Substitutionen der
Gruppe $\Gamma$, die $\sigma_0$ in $ \begin{pmatrix}\dfrac{p }{ q}, & \dfrac{r }{ s} \end{pmatrix} $ transformieren. Es gilt daher

\begin{Prop}
{3. Satz:} \glqq{}Jeder Substitution $S$ ist eindeutig eine Elementarsehne
zugeordnet; umgekehrt entsprechen jeder Elementarsehne
vier $S$-Substitutionen.\grqq{}
\end{Prop}
%\File{031.png}


\Section{§ 8.}
{Die Substitutionen~$U$.}

Wie im vorangehenden Paragraphen soll $U$ eine Substitution
bedeuten mit ganzzahligen komplexen Koeffizienten, die die Fundamentalsehne~$\sigma_0$
in sich transformiert.

Unter $(\bar{U})$ fassen wir alle diejenigen Substitutionen~$U$ zusammen,
deren Determinante $|U| = 1$ oder $= i$ ist. Es ist dies das
System der folgenden acht Transformationen
\[
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
&&\begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\DPtypo{}{,}
&&\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
&&\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \\
&\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix},
&&\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
&&\begin{pmatrix} 0 & -i \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\DPtypo{}{,}
&&\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ i & 0 \end{pmatrix}.
\end{aligned}\tag{1}
\]

Sind $U$ und~$U'$ zwei beliebige dieser acht Substitutionen, so
ist immer auch die zusammengesetzte $U U'$ in $(\bar{u'})$ enthalten. Denn
man kann die allgemeine Substitution~(1) auch
\[
u' = i^\epsilon u^\delta
\]
--- wo $\epsilon = 0, 1, 2, 3$; $\delta = 1$ oder $= -1$ zu nehmen sind --- schreiben.
Ist $U'= i^{\epsilon'} u^{\delta'}$ eine zweite solche Substitution, so wird die
zusammengesetzte
\[
u u' = i^{\epsilon'} (i^\epsilon u^\delta)^{\delta'} = i^{\epsilon' + \epsilon\delta'} · u^{\delta \delta'},
\]
besitzt also denselben Charakter, wie jede der Komponenten, woraus
die Richtigkeit der obenstehenden Behauptung folgt.

Die Transformationen~(1) bilden daher eine Gruppe, die sich
in folgender Weise aufbauen lässt.
\[
U_1 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad
U_2 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}
\tag{2}
\]
sind zwei spezielle Substitutionen dieser Gruppe von der Eigenschaft,
dass die allgemeine
\[
U = U_1^r U_2^s, \text{ wo } r = 0,\: 1,\: 2,\: 3;\ s = 0,\: 1
\tag{3}
\]
sind, wird. --- $U_1$ und~$U_2$ sind daher die erzeugenden Substitutionen
von $(\bar{U})$. In Tabelle~(5) ist zu jeder der Transformationen~(1) die
zugehörige Gestalt~(3) angegeben.
%\File{032.png}

Sind $(a\, b\, b_0\, c)$ die homogenen Koordinaten eines Punktes und
ist $b = b_1 + i b_2$, so wollen wir in Zukunft, wo es passender ist,
auch $(a\, b_1\, b_2\, c)$ als Koordinaten des betreffenden Punktes ansprechen.

Es soll nun weiter untersucht werden, wie sich der Punkt
$(a\, b_1\, b_2\, c)$ gegenüber den Transformationen $U_1$ und~$U_2$ oder also der
allgemeinen Transformation~$U$ verhält. Aus dem Gleichungssystem~(3)~§~6,
angewendet auf $U_1$ und~$U_2$ (vgl.~(2)~oben), folgt:
\[\begin{aligned}
U_1 (a\, b\, b_0\, c) &= (a,\, i b,\, -i b_0,\, c)  \\
U_2 (a\, b\, b_0\, c) &= (c,\, b_0,\, b,\, a)
\end{aligned}\tag{4\textprime}
\]
oder
\[\begin{aligned}
U_1 (a\, b_1\, b_2\, c) &= (a,\, -b_2,\, b_1,\, c) \\
U_2 (a\, b_1\, b_2\, c) &= (c,\, b_1,\, -b_2,\, a),
\end{aligned}\tag{4}
\]
d.~h.\ die Koordinaten eines Punktes erleiden bei den Substitutionen
$U_1$ und~$U_2$ nur je eine gewisse Vertauschung; bei der allgemeinen
Substitution~$U$ muss jede dieser Vertauschungen so oft wiederholt
werden, als der bezügliche Index $r$ und~$s$ angibt.

In der folgenden Tabelle sind die zu der allgemeinen Transformation~$U$
gehörenden Koeffizientensysteme notiert, sowie die
Vertauschungen, welche die Koordinaten $(a\ b_1$ $b_2\ c)$ eines Punktes
dabei erleiden.
\[\begin{aligned}
U_1^0     &\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (a\, b_1\, b_2\, c)    &
U_1^2     &\begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} (a\, {-b}_1\, {-b}_2\, c)  \\
U_1       &\begin{pmatrix} i & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (a\, {-b}_2\, b_1\, c) &
U_1^3     &\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & i \end{pmatrix} (a\, b_2\, {-b}_1\, c)   \\
U_1^0 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & i  \\ i & 0 \end{pmatrix} (c\, b_1\, {-b}_2\, a)  &
U_1^2 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} (c\, {-b}_1\, b_2\, a)   \\
U_1 U_2   &\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ i & 0 \end{pmatrix} (c\, b_2\, b_1\, a)    &
U_1^3 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & -i \\ 1 & 0 \end{pmatrix} (c\, {-b}_2\, {-b}_1\, a).
\end{aligned}\tag{5}
\]

Es sei noch erwähnt, dass wenn wir aus der Gruppe~$(\bar{U})$ diejenigen
Substitutionen ausschalten, die zu der Determinante~$|U| = i$
gehören, wir auf eine Gruppe~$(U)$ geführt werden, deren Substitutionen
auch in $\Gamma$ enthalten sind; es sind das die folgenden vier
\[
U_1^0, \qquad U_1^2, \qquad U_2, \qquad U_1^2 U_2.
\tag{6}
\]

Die vier ausgeschalteten Substitutionen
\[
U_1, \qquad U_1^3, \qquad U_1 U_2, \qquad U_1^3 U_2
\tag{7}
\]
%\File{033.png}
gehen gliedweise aus den vorangehenden hervor durch Anfügung
der Substitution~$U_1$.

Wie schon gesagt, sind $U_1$ und~$U_2$ die erzeugenden Substitutionen
der Gruppe~$(\bar{U})$. Wir bemerken dazu:

$U_1$ ist nichts anderes als eine Drehung des Raumes um die
$\theta$-Achse des ursprünglichen Koordinatensystemes, und zwar eine
Drehung um 90°, $U_2$ dagegen bedeutet eine Umklappung des
Raumes um die $\xi$-Achse um 180°.

Aus diesem Umstand, wie auch aus Tabelle~(5) erkennt man
die Richtigkeit der folgenden Bemerkung.

\Rmk{1. Bemerkung.} Von den acht verschiedenen Punkten, die
einander aequivalent sind durch die Substitutionen der Gruppe $(\bar{U})$,
genügen die Koordinaten eines und nur eines den Ungleichungen
\[
a \geq c\footnote
  {Ist in~(8) $a = c$, so muss der Eindeutigkeit wegen noch etwa $b_2 \leq 0$ vorausgesetzt
  werden.}
; \quad b_1 > b_2; \quad b_1 \geq -b_2.
\tag{8}
\]

\pngrightl{005.png}{279}{10}{-24}
Die nebenstehende Figur veranschaulicht
den Bereich, dem die betreffenden
Punkte angehören. Man denkt
sich den Punkt~$\infty$ der Kugel~$\frakK$ verbunden
durch Ebenen mit den Radien
$O\,A$ und~$O\,B$. Die obere Hälfte des
keilförmigen Kugelausschnittes, der
zum Sektor~$A\,O\,B$ gehört, mit Einschluss
der Punkte der Ebenen~$(O\,A\,B)$
und~$(\infty\,O\,A)$ und Ausschluss derjenigen
der Ebene~$(\infty\,O\,B)$ gehört dem durch
die Ungleichungen~(8) charakterisierten Bereiche an.

Wie schon gesagt, gehören von den acht Substitutionen der
Gruppe~$(\bar{U})$ vier der Gruppe~$\Gamma$ an, es sind das die vier in der
Gruppe~$(U)$ enthaltenen (vgl.~(6) oben). Es gibt daher zu einem
Punkte~$(a\, b_1\, b_2\, c)$ vier Punkte, die jenem aequivalent sind durch
eine Substitution~$U$, die in~$\Gamma$ enthalten ist. Entnimmt man aus~(6)
die bezüglichen Substitutionen und geht in Tabelle~(5) über, so erkennt
man die Richtigkeit der folgenden Bemerkung.
%\File{034.png}

\Rmk{2. Bemerkung.} Von den vier verschiedenen Punkten, die
einander aequivalent sind durch die Substitutionen der Gruppe~$(U)$,
genügen die Koordinaten eines und nur eines den Relationen
\[
a \geq c; \quad b_1 \geq 0
\tag{9}
\]
wo, wenn die Gleichheitszeichen eintreten, noch $b_2 \geq 0$ vorausgesetzt
werden kann.

Der hierdurch charakterisierte Bereich ist im wesentlichen
nichts anderes als derjenige Kugelquadrant, der von den Halbebenen
herausgeschnitten wird, $\xi = 0$ und~$\theta = 0$, und zwar von
denjenigen Hälften, wo bezw.\ $\theta \geq 0$ und $\xi \geq 0$ ist.


\Section{§ 9.}
{Minimum der Entfernung des Punktes $(a\, b\, b_0\, c)$
von der Fundamentalsehne $\sigma_0$.}

Wir suchen in diesem Paragraphen eine möglichst einfache
Ungleichung herzuleiten, die ausdrückt, dass der Punkt~$(a\, b\, b_0\, c)$,
der im Innern der Kugel~$\frakK$ liegen soll, von der Fundamentalsehne~$\sigma_0$
eine kleinere oder doch nicht grössere Entfernung hat als von
jeder andern Elementarsehne $\sigma = \left(\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\beta}{\sigma}\right)$.

Bezeichnen wir mit $S$ die Substitution, deren Schema $\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{pmatrix}$
ist, so wird dasjenige der dazu inversen Substitution
\[
S^{-1} = \begin{pmatrix} -\delta & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{pmatrix}.
\tag{1}
\]

Sei $(a'\, b'\, b_0'\, c')$ derjenige Punkt, der aus $(a\, b\, b_0\, c)$ durch die
Substitution~$S^{-1}$ hervorgeht, so berechnet man an Hand von (3)~§~6.
\[\begin{alignedat}{5}
&a'   &&= & a · \delta \delta_0  &- b · \beta_0  \delta &&- b_0 · \beta \delta_0  &&+ c ·  \beta \beta_0 \\
&b'   &&= &-a · \gamma_0 \delta  &+ b · \alpha_0 \delta &&+ b_0 · \beta \gamma_0  &&- c ·  \alpha_0 \beta \\
&b'_0 &&= &-a · \gamma \delta_0  &+ b · \beta_0  \gamma &&+ b_0 · \alpha \delta_0 &&- c · \alpha \beta_0 \\
&c'   &&= & a · \gamma \gamma_0  &- b · \alpha_0 \gamma &&- b_0 · \alpha \gamma_0 &&+ c · \alpha \alpha_0,
\end{alignedat}\tag{2}
\]
und daraus noch
\[
b' b'_0 - a' c' = (b b_0 - a c)(\alpha \delta - \beta \gamma)(\alpha_0 \beta_0 - \beta_0 \gamma_0).
\tag{3}
\]
%\File{035.png}

Nun geht durch dieselbe Substitution~$S^{-1}$ die Sehne~$\sigma$ über
in die Fundamentalsehne~$\sigma_0$. Aus dem Satz am Schluss von §~4
entnimmt man: Soll die Entfernung des Punktes~$(a'\, b'\, b'_0\, c')$ von $\sigma_0$
eine möglichst kleine werden, so muss $\dfrac{b'b'_0 - a' c'}{a'·c'}$ ein Minimum
werden. Soll daher die Entfernung des Punktes~$(a\, b\, b_0\, c)$ von der
Sehne~$\left(\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\beta}{\delta}\right)$ kleiner oder doch nicht grösser sein als von jeder
andern Elementarsehne, so muss für die betreffenden Werte von
$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ der Quotient
\[
\frac{(b b_0 - a c) (\alpha \delta - \beta \gamma) (\alpha_0 \delta_0 - \beta_0 \gamma_0)}
  {(a \delta \delta_0 - b \beta_0 \delta - b_0 \beta \delta_0 + c \beta \beta_0)
   (a \gamma \gamma_0 - b \alpha_0 \gamma - b_0 \alpha \gamma_0 + c \alpha \alpha_0)}
\]
ein Minimum werden (vgl.~(2) und~(3) oben).

Der Zähler desselben ist, da es sich nur um Elementarsehnen
handelt, eine negative konstante Zahl. Man erkennt daher die
Richtigkeit des
\begin{Prop}{1. Satzes:}
\glqq{}Soll die Entfernung des Punktes~$(a\, b\, b_0\, c)$ von der
Elementarsehne~$\left(\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\beta}{\delta}\right)$ kleiner oder höchstens gleich sein
der Entfernung desselben Punktes von jeder andern Elementarsehne,
so muss für die betreffenden Werte von $\alpha, \beta, \gamma, \delta$
das Produkt
\[
(a \gamma \gamma_0 - b \alpha_0 \gamma - b_0 \alpha \gamma_0 + c \alpha \alpha_0)
(a \delta \delta_0 - b \beta_0 \delta - b_0 \beta \delta_0 + c \beta \beta_0)
\tag{4}
\]
ein Minimum werden.\grqq{}
\end{Prop}

Der Hülfssatz in §~3 wird uns nun den Beweis des folgenden
weitern Satzes liefern.
\begin{Prop}{2. Satz:}
\glqq{}Ist $P$ ein Punkt im Innern der Kugel~$\frakK$, so gibt es
immer nur endlich viele Elementarsehnen, von denen er
eine Entfernung hat, die kleiner ist als eine gegebene positive
Grösse~$M$.\grqq{}
\end{Prop}

Soll nämlich die Entfernung des Punktes~$P$, dessen Koordinaten
$(a\, b\, b_0\, c)$ sein sollen, von der Sehne
  $\sigma = \left(\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\beta}{\gamma}\right)$ unterhalb $M$ liegen,
so muss das Produkt $a'·c'$ (vgl.~(2) und~(4) oben) unter einer positiven
endlichen Zahl liegen. In der Tat, würde $a'·c'$ über jede
endliche Grösse hinauswachsen können, so könnte
\[
\rho^2 = \frac{(b b_0 - a c)(\alpha \delta - \beta \gamma)(\alpha_0 \delta_0 - \beta_0 \gamma_0)}{a'·c'} + 1
\]
%\File{036.png}
und mit ihm $\rho$ beliebig nahe an $1$ heran rücken, und infolgedessen
könnte auch $\lg \dfrac{1 + \rho}{1 - \rho}$, d.~i.\ die Entfernung~$(P, \sigma)$, beliebig gross
werden, was auf einen Widerspruch führt mit der Voraussetzung.

Aus (2) ersieht man, dass $a'$ und $c'$ homogene reelle Funktionen
zweiten Grades sind bezüglich der Komponenten von $\alpha, \beta, \gamma, \delta$.
Sehen wir nun diese Komponenten als Veränderliche an, so können
wir Gebrauch machen von dem Satz in §~3. Laut Bemerkung~3
in §~2 sind $a'$ und $c'$ immer $> 0$, so lange nicht alle der Veränderlichen
zugleich verschwinden. Da das nicht sein kann, indem
ja die Invariante $\alpha \delta - \beta \gamma$ jeder Elementarsehne $= 1$ genommen
werden kann, so besitzen $a'$ und $c'$, von denen die erste
nur von $\beta$ und $\delta$, die andere nur von $\alpha$ und $\gamma$ abhängig ist, gewisse
Minima $m_1$ und $m_2$ die beide $> 0$ sind. Es muss daher für die
in Betracht kommenden Sehnen
\[
a' < \frac{M'}{m_2} \text{ und } c' < \frac{M'}{m_1}
\]
sein. Die rechten Seiten dieser Ungleichungen sind endliche
Zahlen, es kann daher auch nur eine endliche Anzahl von Wertepaaren
$\beta, \delta$ und $\alpha, \gamma$ geben, die den obigen Ungleichungen genügen
und daher endlich auch nur endlich viele Elementarsehnen, w.~z.~b.~w.

Es folgt nun weiter
\begin{Prop}{3. Satz:}
\glqq{}Ist $P$ ein Punkt im Innern der Kugel $\frakK$, so hat er
von einer oder von mehreren, stets aber nur von einer
endlichen Anzahl von Elementarsehnen eine kleinste Entfernung.\grqq{}
\end{Prop}

Denn bezeichnet $M$ eine Grösse, die (um beliebig wenig)
grösser ist, als die Entfernung einer bestimmten Elementarsehne~$\sigma$
von~$P$, dann gibt es nach Satz~2 nur endlich viele Elementarsehnen,
deren Abstand von~$P$ kleiner ist als~$M$, in dieser Anzahl
sind dann offenbar auch alle diejenigen enthalten, die von $P$ eine
kleinste Entfernung besitzen.

Zunächst ist nun für die Fundamentalsehne~$\sigma$
  $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$,
die Entfernung des Punktes~$(a\, b\, b_0\, c)$ von~$\sigma_0$ ist daher im wesentlichen
bestimmt durch das Produkt $a·c$, (vgl.\ Satz~1 oben). Soll nun
der Abstand des Punktes~$P(a\, b\, b_0\, c)$ von der Fundamentalsehne~$\sigma_0$
nicht grösser sein als von jeder andern Elementarsehne, so muss
%\File{037.png}
für jedes Wertesystem $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$, das von $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ verschieden ist, die
Ungleichung erfüllt sein
\[
(a \delta \delta_0 - b \beta_0 \delta - b_0 \beta \delta_0 + c \beta \beta_0)
(a \gamma \gamma_0 - b \alpha_0 \gamma - b_0 \alpha \gamma_0 + c \alpha \alpha_0) \geq a · c,
\tag{5}
\]
wo das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn der Punkt~$P$ von
$\sigma$ genau gleich weit entfernt ist, wie von~$\sigma_0$.

Bekanntlich führen die Substitutionen der Gruppe $(\bar{U})$ die
Fundamentalsehne~$\sigma_0$ in sich über, sowie auch die Gesamtheit der
Elementarsehnen (vgl.\ Satz~1~§~7), es besitzen daher je solche acht
Punkte, die einander aequivalent sind, durch die Substitutionen
dieser Gruppe, von der Sehne~$\sigma_0$ alle dieselbe Entfernung. In der
vorstehenden Untersuchung kann daher jederzeit jeder der acht
Punkte durch einen beliebigen der sieben andern ersetzt werden;
so könnten wir uns ein für allemal etwa auf denjenigen Punkt
beschränken, welcher durch die 1.~Bemerkung am Schluss von
§~8 charakterisiert ist, doch ist es nicht notwendig sich so einzuschränken,
es genügt an der ersten der Ungleichungen~(8) §~8
allein fest zu halten, d.~h.\ sich auf diejenigen Punkte zu beschränken,
deren Koordinaten der Bedingung
\[
a \geq c
\tag{6}
\]
genügen.

Es soll nun gezeigt werden, dass die Bedingung~(5) durch
die folgende gleichwertige ersetzt werden kann
\[
a \mu \mu_0 - b \lambda_0 \mu - b_0 \lambda \mu_0 + c \lambda \lambda_0 \geq a,
\tag{7}
\]
zu der wir noch die folgende ergänzende Bemerkung hinzufügen
müssen.
\Rmk{1. Bemerkung.}
\begin{itemize}
\item[a)] Die Relation~(7) tritt nur dann an Stelle
von~(5), wenn auch die Bedingung~(6) erfüllt ist.
\item[b)] $\lambda$ und $\mu$ bedeuten zwei beliebige ganze komplexe Zahlen,
die jedoch keinen gemeinschaftlichen Teiler haben dürfen
und von denen die zweite $\mu$ nicht gleich Null sein darf.
\end{itemize}

Da $\dfrac{\lambda}{\mu}$ Endpunkt einer Elementarsehne ist, (vgl.\ die einzelnen
Faktoren in~(5)) so sagt (7) aus: im allgemeinen muss für jeden
Endpunkt $\dfrac{\lambda}{\mu}$ einer Elementarsehne $\sigma$ die von $\sigma_0$ verschieden ist,
%\File{038.png}
der Ausdruck $\bar{a} (\lambda\,\mu)$ (vgl.\ die linke Seite von~(7)) grösser oder
mindestens gleich sein~$a$. Eine Ausnahme hiervon machen nur
diejenigen Elementarsehnen, die durch den Punkt $\left(\dfrac{1}{0}\right)$ hindurch
gehen; für diesen einen Endpunkt derselben wird $\bar{a} (1, 0) = c \leq a$.

Indem man (7) mit (5) vergleicht, erkennt man, dass (7) mit
der hinzugefügten Bemerkung hinreichend ist dafür, dass für jede
Elementarsehne~$\sigma$ auch (5) erfüllt ist. Es soll nun gezeigt werden,
dass die eben genannte Bedingung nicht nur eine hinreichende,
sondern auch eine notwendige ist.

Zu dem Ende zeigen wir, dass, wenn es ein Zahlenpaar $\lambda\,\mu$
geben sollte, für welches $\bar{a} (\lambda\,\mu) < a$ ist, dass es dann auch eine
Elementarsehne $\sigma$ geben würde, für welche $a'\,c' < a\,c$ wird, während
wir voraussetzen, dass für jedes System $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$
das von $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ verschieden
ist, $a'\,c' \geq a\,c$ sein soll.

Zunächst werden wir nachweisen, dass, wenn es ein beliebiges
Zahlenpaar~$(\lambda, \mu)$ gibt, für welches $\bar{a} (\lambda\,\mu) < a$, dass dann diese
Ungleichung auch erfüllt ist für ein Paar~$(\lambda', 1)$. Ist das richtig,
so wird für die Elementarsehne $\left(\dfrac{1}{0}, \dfrac{\lambda'}{1}\right)$ der eine der beiden
Faktoren $a'$ und $c'$ gleich $c$, der andere $\bar{a} (\lambda', 1)$ wird nach Voraussetzung
$< a$ und daher wird für diese Sehne $a' c' < a c$ was auf
den gewünschten Widerspruch führt.

$|b_1|$ und $|b_2|$ mögen die absoluten Beträge von $b_1$ und $b_2$ bezeichnen,
so dass also $b = \epsilon |b_1| + i \eta |b_2|$ gesetzt werden kann,
wo $\epsilon$ und $\eta = ± 1$ sind. In dem Ausdruck $\bar{a} (\lambda\,\mu)$ wollen wir
\[
a = A + |b_1| + |b_2| \text{ und } c = C + |b_1| + |b_2|
\]
setzen, aus (6) folgt dann
\[
A \geq C
\tag{6\textprime}
\]
und es wird
\[
\bar{a} (\lambda\,\mu) = A \mu \mu_0 + C \lambda \lambda_0
  + |b_1| (\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0)
+ |b_2| (\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0).
\]

Wir bemerken dazu, $\lambda$ und $\mu$ sind zwei ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen
Teiler, es lassen sich daher immer zwei andere
ganze Zahlen $\lambda'$ und $\mu'$ finden, so dass $\lambda \lambda' - \mu \mu' = 1$ wird, und
hieraus gewinnt man die
%\File{039.png}

\Rmk{2. Bemerkung.}
\begin{itemize}
\item[a)] Ist $\lambda = 0$, so wird $\mu = 1$.
\item[b)] Ist $\mu - \epsilon \lambda = 0$, so werden $\lambda$ und $\mu$ Einheiten und zwar
derart, dass $(\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) = 2$ wird.
\item[c)] Ist $\mu + i \eta \lambda = 0$, so werden wieder $\lambda$ und $\mu$ Einheiten von
der Art, dass $(\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0) = 2$ wird.
\end{itemize}

Im Falle $\lambda = 0$, wird daher $\bar{a} (0, 1) = a$, es ist dann (7)
gerade noch erfüllt. Soll nun
\[
A \mu \mu_0 + C \lambda \lambda_0 + |b_1| (\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0)
+|b_2| (\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) < A + |b_1| + |b_2|
\]
sein, wo wir den vorangehenden Erörterungen zufolge $|\lambda| > 0$,
$|\mu| > 1$ anzunehmen haben, so sehen wir, die Ungleichung kann
nur erfüllt sein, wenn $C < 0$ ist. Ist aber das der Fall, so ist
dieselbe auch erfüllt für ein Zahlenpaar $(\lambda', 1)$. Ist nämlich
$|b_1| > |b_2|$, so wählen wir $\lambda'$ so, dass $1 - \epsilon \lambda' = 0$ wird. Dann
ist nach Bemerkung~2b) $(1 + i \eta \lambda') (1 - i \eta \lambda') = 2$ und also wird
$\bar{a} (\lambda', 1) = A + C + 2 |b_2| < A + |b_1| + |b_2|$. Ist umgekehrt $|b_1| < |b_2|$,
so ergibt sich eine ganz analoge Diskussion, die wie die vorangehende
auf den gewünschten Widerspruch führt.

Die Annahme, dass für ein Zahlenpaar $(\lambda\,\mu)$ wo $|\mu| > 0$,
$\bar{a} (\lambda\,\mu) < a$ werde, tritt also immer in Opposition mit der Voraussetzung,
dass für alle Elementarsehnen~$\sigma$ die von $\sigma_0$ verschieden
sind $a' c' \geq a c$ erfüllt sei. Es ergibt sich
\begin{Prop}{4. Satz:}
\glqq{}Ist $(a\, b\, b_0\, c)$ ein innerer Punkt der Kugel~$\frakK$ und soll
derselbe von der Sehne~$\sigma_0$ eine kleinere oder doch nicht
grössere Entfernung haben, als von jeder andern Elementarsehne,
so müssen seine Koordinaten der Bedingung~(7) genügen,
unter Berücksichtigung der Bemerkung~1.\DPtypo{}{\grqq{}}
\end{Prop}


\Section{§ 10.}
{Der Diskontinuitätsbereich der Picardschen Gruppe.}

Wir wollen in diesem Paragraphen die Gesamtheit derjenigen
Punkte betrachten, die von der Fundamentalsehne~$\sigma_0$ näher oder
doch nicht weiter entfernt liegen als von jeder andern Elementarsehne.
%\File{040.png}
Wir werden sodann zeigen, dass dieses Gebiet einen Diskontinuitätsbereich
der Picardschen Gruppe bildet.

Ausgehend von Satz~4 des vorangehenden Paragraphen, findet
man nun, dass die Ungleichung~(7) §~9 für jedes in Betracht
kommende Zahlenpaar $\lambda, \mu$ erfüllt ist, wenn sie für die folgenden
vier Paare
\[
1, 1; \quad i, 1; \quad -1, 1; \quad -i, 1
\]
befriedigt ist. Indem man dieselben nacheinander in die schon
erwähnte Ungleichung einsetzt, kommt man auf die folgenden vier
Bedingungen, denen die Koordinaten $(a\, b\, b_0\, c)$ bezw.\ $(a\, b_1\, b_2\, c)$ zu
genügen haben
\[\begin{alignedat}{4}
a &{}- &  b &{}- &   b_0 &+ c  \geq a   \text{ oder }  && c - 2 b_1 \geq 0\\
a &{}+ &i b &{}- & i b_0 &+ c  \geq a   \quad\text{\glqq{}}    && c - 2 b_2 \geq 0\\
a &{}+ &  b &{}+ &   b_0 &+ c  \geq a   \quad\text{\glqq{}}    && c + 2 b_1 \geq 0\\
a &{}- &i b &{}+ & i b_0 &+ c  \geq a   \quad\text{\glqq{}}    && c + 2 b_2 \geq 0.
\end{alignedat}\tag{1}
\]
Nehmen wir noch die Bedingung~(6) §~9 hinzu, so sehen wir
$(a\, b_1\, b_2\, c)$ müssen insgesamt den folgenden Relationen genügen
\[
a \geq c; \quad c \geq ±2 b_1; \quad  c \geq ±2 b_2,
\tag{B\textsubscript{a}}
\]
damit der betreffende Punkt die gewünschte Lage hat. Setzt man
\[
b = \epsilon |b_1| + i \eta |b_2|; \quad
a= A +|b_1| + |b_2|; \quad
c = C+ |b_1| + |b_2|,
\tag{2}
\]
wo $|b_1|$ und $|b_2|$ die absoluten Beträge von $b_1$ und $b_2$ bedeuten,
$\epsilon$ und $\eta$ also $= ±1$ zu nehmen sind, so folgt aus (B\textsubscript{a}), dass
\[
A \geq C \geq 0
\tag{3}
\]
ist. Substituiert man (2) in~(7) §~9, so kommt man auf
\begin{multline}
\bar{a} (\lambda\,\mu) = A \mu \mu_0 + C \lambda \lambda_0 + |b_1|(\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0) \\
+ |b_2|(\mu + i \eta \lambda)(\mu_0 - i \eta \lambda_0) \geq A + |b_1| + b_2
\tag{4}
\end{multline}
Wie man sofort erkennt, ist diese Bedingung immer erfüllt, wenn
die Koeffizienten
\[
\mu;\ \lambda\footnote
  {Von dem Falle $\lambda = 0$ kann man ursprünglich absehen.}
;\ \mu - \epsilon \lambda;\ \mu + i \eta \lambda \neq 0, 0, 0, 0
\]
%\File{041.png}
sind. Der erste derselben ist nach Voraussetzung von Null verschieden,
es können also nur
\[
\lambda,\ \mu - \epsilon \lambda,\ \mu + i \eta \lambda
\]
verschwinden. Zwei derselben können nicht gleichzeitig verschwinden,
denn, wie man sieht, würde sonst $\lambda = \mu = 0$ werden. Es
bleiben daher nur die Möglichkeiten übrig
\begin{itemize}
\item[a)] $\lambda = 0$, dann wird $\mu = 1$ (Bemerkung~2, a, §~9), also
$\bar{a} = A + |b_1| + |b_2| = a$.

\item[b)] $\mu - \epsilon \lambda = 0$, dann wird $|\mu| = |\lambda| = 1$ und ferner $(\mu + i \eta \lambda)
(\mu_0 - i \eta \lambda) = 2$ (Bemerkung~2, b §~9), also dass $\bar{a} = A + C
+ 2 |b_2| = a + c - 2 |b_1| \geq a$ herauskommt (vgl.\ (B\textsubscript{a})).

\item[c)] $\mu + i \eta \lambda = 0$, dann wird wieder $|\mu| = |\lambda| = 1$ und
$(\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0) = 2$ (Bemerkung~2, c, §~9) und somit
$\bar{a} = A + C + 2 |b_1| = a + c - 2 |b_2| \geq a$, (vgl.\ (B\textsubscript{a})).
\end{itemize}

Daraus folgt, die Ungleichung~(4) ist für jedes in Betracht
kommende Zahlenpaar $\lambda\,\mu$, oder also für jede von $\sigma_0$ verschiedene
Elementarsehne~$\sigma$ erfüllt, wenn die Koordinaten $(a\, b_1\, b_2\, c)$ des betreffenden
Punktes den Bedingungen~(B\textsubscript{a}) genügen. Des fernern
übersieht man, so lange in den Bedingungen~(B\textsubscript{a}) die Gleichheitszeichen
an irgend einer Stelle ausgeschlossen werden, solange ist
auch immer $a' · c' > a · c$, d.~h.\ ist die Entfernung des Punktes
$(a\, b_1\, b_2\, c)$ von der Sehne~$\sigma$ grösser als von der Sehne~$\sigma_0$. Man
erkennt so die Richtigkeit des folgenden Satzes.
\begin{Prop}{1. Satz:}
\glqq{}Sind $(a\, b_1\, b_2\, c)$ die Koordinaten eines Punktes~$P$, und
genügen dieselben den Bedingungen~(B\textsubscript{a}), so dass an keiner
Stelle, ausgenommen etwa bei $a \geq c$, das Gleichheitszeichen
eintritt, so hat $P$ von der Sehne~$\sigma_0$ eine kleinere Entfernung
als von jeder andern Elementarsehne~$\sigma$. --- Tritt dagegen
an irgend einer der (in Betracht kommenden) Stellen
statt des $>$-Zeichens das $=$-Zeichen ein, so hat zwar $P$
von $\sigma_0$ immer noch eine kleinste Entfernung, aber es gibt
dann, und nur dann, noch eine oder mehrere andere Elementarsehnen,
von denen der Punkt~$P$ dieselbe Entfernung
hat wie von $\sigma_0$.\grqq{}
\end{Prop}

Die Gesamtheit der Punkte $(a\, b_1\, b_2\, c)$, die durch die Bedingungen~(B\textsubscript{a})
charakterisiert ist, ist die folgende. Sie ist begrenzt
von den fünf Ebenen, deren Gleichungen sind:
%\File{042.png}
\[
a = c;\ c = 2 b_1;\ c = -2 b_1;\ c = 2 b_2;\ c = -2 b_2.
\]
Die Punkte im Innern und auf der Begrenzung des dadurch
bestimmten Fünfflachs gehören dem durch (B\textsubscript{a}) charakterisierten
Bereiche an.

Nimmt man noch Bemerkung 2, § 8 zu Hülfe, so erkennt man,
dass der durch (B\textsubscript{a}) definierte Bereich noch in folgender Weise
eingeschränkt werden kann. Indem man nämlich nur diejenigen
Punkte jener Gesamtheit zusammenfasst, die $b_1 \geqq 0$ genügen, wird
dieselbe gerade halbiert. Wir kommen so auf ein neues \so{Pentaeder}
$P_0$, das wir folgendermassen genauer umgrenzen wollen.

\Definition. Zum Pentaeder $P_0$ sollen alle diejenigen Punkte
($a\, b_1\, b_2\, c$) gehören, deren Koordinaten den folgenden Relationen
genügen
\[
a \geqq c,\ b_1 \geqq 0,\ c - 2 b_1 \geqq 0,\ c - 2 b_2 \geqq 0,\ c + 2 b_2 > 0, \tag{B}
\]
wo, wenn an irgend einer Stelle das Gleichheitszeichen vorkommt,
noch $b_2 \geqq 0$ vorausgesetzt werden soll.

Die nebenstehende Figur
stellt diesen Bereich dar. Von
der Begrenzung des Pentaeders
($a\, b\, c\, d\, e$) haben wir diejenigen
Punkte mitzunehmen, die den
Dreiecken ($a\, b\, e$), ($a\, e\, g$), ($b\, e\, f$)
und bezw.\ dem Viereck ($a\, b\, f\, g$)
angehören.

\pngrightl{006.png}{349}{10}{-12}
Durch die Substitutionen
der Gruppe ($U$) ((6) § 8) geht
das Pentaeder $P_0$ über in vier
zu ihm aequivalente Räume,
die zusammen ein Oktaeder
einfach und lückenlos ausfüllen. Wir wollen dasselbe $T'_0$ bezeichnen.
Es gilt dann der

\begin{Prop}
{2. Satz:} \glqq{}Ist $Q$ ein Punkt der $T'_0$ angehört, so gibt es immer
einen und auch nur einen Punkt $Q_0$, der dem Pentaeder $P_0$
angehört und der durch eine Substitution der Gruppe ($U$)
aus $Q$ hervorgeht.\grqq{}
\end{Prop}
%\File{043.png}

Damit ein Punkt $Q$ dem Oktaeder $T'_0$ angehört, müssen seine
Koordinaten ($a\, b_1\, b_2\, c$), wie sich beim Übergang von $P_0$ auf $T'_0$ (an
Hand von (6) und Tabelle (5) § 8) ergibt, den folgenden Bedingungen
genügen
\[\tag{B\textprime}
\begin{alignedat}{2}
a &\geqq 2 |b_1|, \quad & c &\geqq 2 |b_1|\\
a &\geqq 2 |b_2|,       & c &\geqq 2 |b_2|.
\end{alignedat}\]

Wir bemerken, dass die Bedingungen (B\textprime) sich nicht vollkommen
decken mit denjenigen, die für $T_0$ gelten, indem an einzelnen
Stellen die Gleichheitszeichen nur unter gewissen Einschränkungen
gelten.

Nur bei Anlass der Diskussion des Diskontinuitätsbereiches
der Gruppe $\Gamma$ werden wir nochmals auf $T'_0$ zu sprechen kommen,
sonst aber wollen wir als \so{Fundamentaloktaeder} $T_0$ das durch
die Relationen (B\textprime) charakterisierte bezeichnen. Die Fundamentalsehne
$\sigma_0$ nennen wir \so{Hauptdiagonale} von $T_0$.

Wie man sieht, decken sich die Relationen (B\textprime) und (B\textsubscript{a}), so
dass wenn die Koordinaten eines Punktes den letzteren Bedingungen
genügen, sie dann auch die ersteren befriedigen. Umgekehrt,
sind die Ungleichungen (B\textprime) erfüllt, so sind, je nachdem $a \geqq c$ oder
$a < c$ ist, auch die Bedingungen (B\textsubscript{a}) erfüllt bezw.\ nicht erfüllt. Ist
dieses letztere der Fall, so genügt es, den vorliegenden Punkt der
Transformation $U_2$ zu unterwerfen, die bekanntlich die Entfernung
des Punktes von der Sehne $\sigma_0$ nicht ändert, um dann auf einen
Punkt zu kommen, dessen Koordinaten den Ungleichungen (B\textsubscript{a})
Genüge leisten. Man kann daher Satz 1 die folgende neue Fassung
geben:

\begin{Prop}
{3. Satz:} \glqq{}Liegt ein Punkt $P$ im Innern des Fundamentaloktaeders
$T_0$, so hat er von jeder andern Elementarsehne $\sigma$ eine
grössere Entfernung wie von $\sigma_0$. --- Liegt er auf der Begrenzung
von $T_0$, so hat er von $\sigma_0$ immer noch eine kleinste
Entfernung, aber es gibt dann noch andere Elementarsehnen,
von denen er eine gleich kleine Entfernung hat.\grqq{}
\end{Prop}

Jede Substitution, die $T_0$ in sich transformieren soll, muss
auch $\sigma_0$ in sich überführen, es folgt daher

\begin{Prop}
{4. Satz:} \glqq{}Die Substitutionen der Gruppe ($U$) sind die einzigen
in $\Gamma$ enthaltenen, die $T_0$ in sich überführen.\grqq{}
\end{Prop}
%\File{044.png}

Ferner gilt

\begin{Prop}
{5. Satz:} \glqq{}Jeder Elementarsehne $\sigma = \begin{pmatrix} \dfrac{\alpha}{\beta}, &  \dfrac{\gamma}{\delta} \end{pmatrix}$ gehört ein bestimmtes
Oktaeder $T$ an, das aus $T_0$ durch die Transformation
$S = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ hervorgeht --- bezw.\ durch die Transformationen
$SU$, wo $U$ aus der Gruppe ($U$) entnommen wird. ---
$\sigma$ ist Hauptdiagonale von $T$ und die Punkte im Innern und
auf der Begrenzung von $T$ besitzen von jeder andern Elementarsehne
eine grössere oder doch nicht kleinere Entfernung
wie von $\sigma$.\grqq{}
\end{Prop}

\begin{Prop}
{6. Satz:} \glqq{}Die Gesamtheit der Oktaeder $T$ erfüllt das Innere von
$\frakK$ einfach (abgesehen von den Begrenzungen von $T$) und
lückenlos.\grqq{}
\end{Prop}

Denn ist $P$ ein Punkt im Innern der Kugel, so hat er gemäss
Satz 3, § 9 von einer oder von mehreren Elementarsehnen eine
kleinste Entfernung; er muss daher im Innern oder auf der Begrenzung
wenigstens eines Oktaeders $T$ liegen. Und er kann auch
nicht zugleich dem Innern von zwei oder mehreren Oktaedern angehören,
es müsste denn auch solche Punkte im Innern von $T_0$
geben, was nicht der Fall ist.

\begin{Prop}
{7. Satz:} \glqq{}Ist $Q$ ein Punkt im Innern der Kugel, so gibt es
wenigstens einen Punkt $Q_0$, der dem Oktaeder $T_0$ angehört
und welcher $Q$ aequivalent ist bezüglich der Gruppe $\Gamma$.\grqq{}
\end{Prop}

Es ist dies eine unmittelbare Folge von Satz 6. Ist nun $P$
ein beliebiger Punkt von $T_0$, so gehört derselbe entweder bereits
auch dem Oktaeder $T_0'$ an, oder aber er gehört ihm noch nicht an.

Betrachten wir den letzteren Fall; der Punkt $P$ liegt dann
auf einem gewissen Stück der Begrenzung von $T_0$.

Sieht man genau zu, welches die Begrenzung von $T_0'$ ist, und
beachtet man, dass die Transformationen
\[
\begin{pmatrix} 1 & \epsilon \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ und }
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \epsilon & 1 \end{pmatrix}  \text{ für } \epsilon = 1, -1, i, -i,    \tag{5}
\]
wie übrigens auch für jeden ganzzahligen Wert von $\epsilon$, der Gruppe $\Gamma$
angehören, so findet man, dass durch je eine der acht Transformationen
(5) der betrachtete Punkt $P$ in einen neuen Punkt $P'$
übergeführt wird, der nicht nur $T_0$, sondern auch $T_0'$ angehört. ---
Andererseits, fasst man die Begrenzung von $T_0'$ ins Auge, sowie die
%\File{045.png}
Begrenzungen derjenigen acht Gebiete $T'$, in welche $T_0'$ durch die
Substitutionen (5) übergeführt wird, sofern diese Gebiete überhaupt
eine feste Begrenzung besitzen, so erkennt man, dass die betreffenden
Ebenenstücke die Begrenzung von $T_0$ einfach und lückenlos
überdecken.

Aus Satz 2 und 7 als Korollar ergibt sich

\begin{Prop}
{8. Satz:} \glqq{}Ist $Q$ ein beliebiger Punkt im Innern der Kugel, so
gibt es immer einen und auch nur einen Punkt $Q_0$, der dem
Pentaeder $P_0$ angehört und der $Q$ aequivalent ist durch
eine Substitution der Gruppe $\Gamma$.\grqq{}
\end{Prop}

In der Tat kann es auch nicht zwei solche Punkte geben,
etwa $Q_0$ und $Q_0'$, sonst müssten sie einander aequivalent sein bezüglich
einer Substitution $S$, die nicht in ($U$) enthalten ist (vgl.\
Satz 2). Durch dieselbe ist ein zu $T_0'$ aequivalenter Bereich $T'$
bestimmt. Die Punkte $Q_0$ und $Q_0'$ müssten daher auf der gemeinschaftlichen
Begrenzung von $P_0$ und $T'$ liegen, eine solche gibt es
aber nach einer vorangehenden Bemerkung gar nicht.

Man kann daher das Pentaeder $P_0$ als \so{Diskontinuitätsbereich
im engeren Sinne} der Picardschen Gruppe $\Gamma$ ansprechen. Im
Hinblick darauf, dass das Fundamentaloktaeder $T_0$ im wesentlichen
ein Multiplum von $P_0$ ist, und insbesondere mit Rücksicht auf
Satz 3, welcher allen Punkten von $T_0$ dieselbe Invarianteneigenschaft
beilegt, wollen wir in erweitertem Sinne $T_0$ als \so{Diskontinuitätsbereich
der Gruppe} $\Gamma$ bezeichnen.

Um die durch die Oktaeder $T$ vermittelte Einteilung des
Kugelinnern noch etwas besser zu durchschauen, möge der folgende
Satz beigefügt werden.

\begin{Prop}
{9. Satz:} \glqq{}An jede Seitenfläche von $T_0$ legt sich ein und nur
ein Oktaeder $T$ an, wir wollen es \so{Flächennachbar} von $T_0$
nennen.

An jede Kante von $T_0$, die einen Endpunkt von $\sigma_0$ gemein
hat, legt sich ein einziges Oktaeder $T$ an, das nicht zugleich
Flächennachbar ist. Es werde \so{Kantennachbar} genannt.

An jede Ecke von $T_0$, die von 0 und $\infty$ verschieden ist,
stosst ein einziges Oktaeder $T$, das nicht einer der beiden
%\File{046.png}
schon genannten Kategorien angehört; wir nennen es
Eckennachbar von $T_0$.

Dieselben Behauptungen gelten für jedes andere Oktaeder $T$
ebenso.\grqq{}
\end{Prop}

In der folgenden Tabelle (6) sind diejenigen Substitutionen
angegeben, die einen Flächennachbar (Kanten- und Eckennachbaren
lassen wir, da sie weniger wichtig sind, weg) von $T_0$ aus $T$ entstehen
lassen, sowie die Seitenfläche von $T_0$, an welche sich der betreffende
Nachbar stützt. --- Die Substitutionen sind die bereits unter (5)
aufgeführten.
\iffalse
\begin{alignat*}{4}
\text{\so{Seitenfläche}} &&& \text{\so{Substit.}} &  \text{\so{Seitenfläche}} &&& \text{\so{Substit.}}\\
c - 2 b_1 = 0 &&\quad &\begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad & a - 2 b_1 = 0 &&\quad &\begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 1 & 1  \end{pmatrix}\\
c - 2 b_2 = 0 &&&      \begin{pmatrix} 1 & i  \\ 0 & 1 \end{pmatrix}        & a - 2 b_2 = 0 &&&      \begin{pmatrix}  i & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix}
\tag*{\indent\raisebox{-3ex}{(7)}}\\
c + 2 b_1 = 0 &&&      \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}        & a + 2 b_1 = 0 &&&      \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\
c + 2 b_2 = 0 &&&      \begin{pmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}        & a + 2 b_2 = 0 &&&      \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 1 & i  \end{pmatrix}
\end{alignat*}
\fi

\[\tag{7}
\begin{array}{c@{\quad}c@{\qquad}c@{\quad}c}
\multispan{1}{\so{Seitenfläche}} &
\multispan{1}{\so{Substit.}} &
\multispan{1}{\so{Seitenfläche}} &
\multispan{1}{\so{Substit.}} \\
c - 2 b_1 = 0 & \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & a - 2 b_1 = 0 & \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 1 & 1  \end{pmatrix}\\
c - 2 b_2 = 0 & \begin{pmatrix} 1 & i  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & a - 2 b_2 = 0 & \begin{pmatrix}  i & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix}\\
c + 2 b_1 = 0 & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & a + 2 b_1 = 0 & \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\
c + 2 b_2 = 0 & \begin{pmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & a + 2 b_2 = 0 & \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 1 & i  \end{pmatrix}
\end{array}
\]

Indem man die Gleichungen der Seitenflächen von $T_0$ irgend
einer dieser Substitutionen unterwirft, erhält man die Seitenflächen
des bezüglichen Nachbars. Man konstatiert auf diese Weise ohne
Schwierigkeiten die Richtigkeit der Behauptungen in Satz 9.

\Section{§ 11.}{Die definite Hermitesche Form.}

Als Hermitesche Form bezeichnet man einen Ausdruck von
der Gestalt
\[
a u u_0 + b u v_0 + b_0 u_0 v + c v v_0.      \tag{1}
\]

Von den Koeffizienten $a\, b\, b_0\, c$ derselben sind $a$ und $c$ reelle,
$b$ und $b_0$ konjugiert komplexe Zahlen, $u$ und $v$ sind zwei beliebige
komplexe Grössen, $u_0$ und $v_0$ sind die dazu konjugierten Zahlwerte.\footnote%
 {Die hier angenommene Fassung der definiten Hermiteschen Form, wie
 auch die der später folgenden Dirichletschen Form, sind etwas allgemeiner als
 die sonst usuelle, vgl.\ Aut.~I, p.~450 und 452.}
%\File{047.png}

Sind $b_1$ und~$b_2$ die Komponenten von~$b$, also dass $b = b_1 + i · b_2$
ist, dann soll der Ausdruck~(1) abkürzend auch mit
\[
(a\, b\, b_0\, c) \text{ oder gelegentlich } (a\, b_1\, b_2\, c)
\]
bezeichnet werden.

Wie man aus~(1) erkennt, ist $(a\, b\, b_0\, c)$ immer eine reelle Grösse.

Da es sich bei unsern Untersuchungen stets nur um das Verhältnis
der Koeffizienten der Form handeln wird, so wollen wir
ein für allemal die Voraussetzung treffen $\mathbf{a \geq 0}$. Ferner sind $(a\, b\, b_0\, c)$
und $(a'\, b'\, b'_0\, c)$ zwei Hermitesche Formen, deren Koeffizienten den
Proportionen genügen
\[
a': b': b'_0: c' = a: b: b_0: c,
\]
dann wollen wir dieselben als nicht wesentlich verschieden auffassen.

Zunächst wollen wir nun der Hermiteschen Form $(a\, b\, b_0\, c)$
als geometrischen Repräsentanten --- vgl.\ die allgemeine Erörterung
in §~1 --- denjenigen Punkt $(x\, y\, y_0\, z)$ zuordnen, dessen homogene
Koordinaten der Beziehung genügen
\[
x: y: y_0: z = a: b: b_0: c.
\]

Wenn die Form $(a\, b\, b_0\, c)$ für jedes Paar komplexer Zahlen
$u$ und~$v$ immer dasselbe (etwa positive) Vorzeichen hat, ausgeschlossen
der Fall $u = v = 0$, so bezeichnet man die Form als
eine definite Hermitesche Form.

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $(a\, b\, b_0\, c)$
eine definite Form sei, ist
\[
b b_0 - a c < 0,
\tag{2}
\]
wie man an Hand der Bemerkung~3, §~2 leicht erkennt.

Man übersieht schliesslich die Richtigkeit des folgenden Satzes:
\begin{Prop}{}
\glqq{}Der definiten Hermiteschen Form $(a\, b\, b_0\, c)$ entspricht
eindeutig als Repräsent\-ant derjenige Punkt im Innern der
Kugel~$\frakK$, dessen homogene Koordinaten sind $a$, $b$, $b_0$, $c$.\grqq{}
\end{Prop}

Die abgekürzte Schreibweise $(a\, b\, b_0\, c)$ bezw.\ $(a\, b_1\, b_2\, c)$ möge
sich fernerhin sowohl auf die Hermitesche Form selber, als auch
auf deren Repräsentanten beziehen.
%\File{048.png}


\Section{§ 12.}
{Die Theorie der Reduktion der definiten Hermiteschen Form.}

Im vorangehenden Paragraphen ist der definiten Hermiteschen
Form ein bestimmter Punkt im Innern der Kugel~$\frakK$ als Repräsentant
zugeordnet worden. In ganz natürlicher Weise knüpft
sich hieran die Aufstellung derjenigen Invariante, die wir der
Theorie der Transformationen der definiten Hermiteschen Formen
zu grunde legen wollen (vgl.\ Diskussion in §~1). Als Element~$\sigma$,
das wir der einzelnen Substitution $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ der Gruppe~$\Gamma$ zuordnen
werden, nehmen wir die Elementarsehne $\left(\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\beta}{\delta}\right)$ an.

Die Entfernung des repräsentierenden Punktes $(a\, b\, b_0\, c)$ von
der Sehne $\left(\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\beta}{\delta}\right)$ soll dann diese Invariante sein.

Zunächst muss nun untersucht werden, wie die Transformation
der Hermiteschen Form und diejenige des Repräsentanten derselben
sich zueinander verhalten; um nachher sich ganz nur auf
die Betrachtung der Transformationen des Punktes zu beschränken.
Nach Aufstellung des Begriffes der reduzierten Form wird sich
dann auch der Gang der Reduktion in ungezwungener Weise finden
lassen.

Unterwirft man die Hermitesche Form $(a\, b\, b_0\, c)$ der linearen
Substitution
\[\begin{aligned}
u &= \alpha u' + \gamma v' \\
v &= \beta u' + \delta v'
\end{aligned}\tag{1\textsubscript{a}}
\]
deren Schema
\[
\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix}
\tag{1}
\]
ist und geht dieselbe dabei über in die Form $(a'\, b'\, b_0'\, c')$, so findet
man bei Durchführung der Rechnung
\[
\begin{alignedat}{5}
&a'   &&= a \alpha \alpha_0 &&+ b \alpha \beta_0  &&+ b_0 \alpha_0 \beta  &&+ c \beta \beta_0 \\
&b'   &&= a \alpha \gamma_0 &&+ b \alpha \delta_0 &&+ b_0 \beta \gamma_0  &&+ c \beta \delta_0  \\
&b_0' &&= a \alpha_0 \gamma &&+ b \beta_0 \gamma  &&+ b_0 \alpha_0 \delta &&+ c \beta_0 \delta \\
&c'   &&= a \gamma \gamma_0 &&+ b \gamma \delta_0 &&+ b_0 \gamma_0 \delta &&+ c \delta \delta_0
\end{alignedat}\tag{2}
\]
Abgesehen von der Bezeichnung der Grössen $(a\, b\, b_0\, c)$ --- an Stelle
von $(x\, y\, y_0\, z)$ --- stimmt dieses Gleichungssystem vollkommen
%\File{049.png}
überein mit (3) in § 6, welch letzteres diejenige Transformation
ergibt, welche der Punkt ($x\, y\, y_0\, z$) bei der Substitution
\[
\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}      \tag{3}
\]
erleidet. Aus dem Vergleich von (1) und (3) folgt somit:

\begin{Prop}
{1. Satz:} \glqq{}Sind $P$ und $P'$ die Repräsentanten der Formen ($a\, b\, b_0\, c$)
und bezw.\ ($a'\, b'\, b_0'\, c'$) und geht die zweite Form aus der
ersten hervor durch die Substitution
\[
S = \begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix},
\]
dann entspringt der Repräsentant $P'$ derselben aus demjenigen
$P$ der ersten Form, durch die zu $S$ transponierte Transformation
\[
S' = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}      \text{\grqq{}.}
\]
\end{Prop}

Gestützt auf diesen innigen Zusammenhang zwischen $S$ und $S'$
ist es möglich, die Theorie der Transformationen der definiten
Hermiteschen Formen zu ersetzen durch diejenige der Transformationen
eines innern Punktes der Kugel $\frakK$. Es kann nun
die folgende Definition aufgestellt werden.

\Definition: Die definite Hermitesche Form soll dann und
nur dann als reduziert betrachtet werden, wenn der Repräsentant
derselben im Innern oder auf der Begrenzung des Fundamentaloktaeders
$T_0$ gelegen ist, d.~h., wenn die Koeffizienten derselben
den Bedingungen (B\textprime) § 10 genügen.

Wie aus § 10 bekannt, besitzt daher eine reduzierte Hermitesche
Form die Eigenschaft, dass ihr repräsentierender Punkt von der
Fundamentalsehne $\sigma_0$ eine kleinere oder höchstens ebenso grosse
Entfernung hat wie von jeder andern Elementarsehne $\sigma$.

Bei der Reduktion der Form ($a\, b\, b_0\, c$) handelt es sich daher
darum, die Entfernung des Punktes ($a\, b\, b_0\, c$) von der Sehne $\sigma_0$ zu
einem Minimum zu machen, d.~h. es muss, gemäss Satz 1 § 9 das
Produkt $a · c$ so lange reduziert werden, bis eine weitere Reduktion
nicht mehr möglich ist.

Bekanntlich haben nun solche acht Punkte, die einander
aequivalent sind durch die Transformationen der Gruppe ($\bar{U}$), alle
von der Fundamental sehne $\sigma_0$ dieselbe Entfernung; ersetzt man
%\File{050.png}
daher bei der Reduktion irgend einen derselben durch einen beliebigen
der sieben andern, so entfernt man sich dabei jedenfalls
nicht von dem angestrebten Ziele.

Bevor wir auf die reduzierenden Substitutionen eingehen, sollen
noch zwei Bemerkungen vorausgeschickt werden, von denen wir
in der Folge Gebrauch zu machen haben.

1. \so{Bemerkung}. Ist ($a\, b\, b_0\, c$) eine beliebige definite Hermitesche
Form, so ist nicht nur $a > 0$ (nach früherer Voraussetzung),
sondern auch $c > 0$. Es deckt sich diese Behauptung vollkommen
mit Bemerkung 2 § 2.

Aus § 6 wissen wir ferner, dass der Ausdruck
\[
b b_0 - a · c
\]
(als Polynom der Gleichung der Kugel $\frakK$), eine Invariante ist,
die sich in keiner Weise ändert, wenn man die Koordinaten
$a,\, b,\, b_0,\, c$ einer Transformation $S$ unterwirft. Ihr Wert ist eine
negative endliche Zahl die wir mit $-p$ bezeichnen wollen, wo
dann $p$ eine positive endliche Grösse bedeutet, so dass
\[
a · c = p + b b_0
\]
gesetzt werden kann.

2. \so{Bemerkung}. Wir denken uns die Koordinaten ($a\, b\, b_0\, c$)
einer ganzen Reihe von Substitutionen $S$ unterworfen, fassen dabei
immer die grössere der beiden Zahlen $a$ und $c$ ins Auge, sei $\bar{a}$
dieselbe, und verlangen, dass die Reihe der Substitutionen so beschaffen
sei, dass $\bar{a}$ eine Reihe von Zahlwerten durchläuft, die
beständig kleiner werden (aber nach Bemerkung 1 immer $> 0$
bleiben), dann kann dabei die kleinere $\bar{c}$ nie unter jede endliche
Grösse hinunter sinken, gleichgültig wie $b$ sich auch verhalten mag.

In der Tat ist ja immer $b b_0 \geqq 0$, und daher $c \geqq \dfrac{p }{ a}$. Ist ($a^{*}\, b^{*}\, b_0^{*}\, c^{*}$)
diejenige Form bezw.\ derjenige Punkt, von dem wir bei der Reduktion
ausgegangen sind, und bedeutet $\bar{a}^{*}$ die grössere der beiden
Zahlen $a^{*}$ und $c^{*}$, und ist ferner $\mathbf{q = \dfrac{p }{ a^{*}}}$, so ist $q$ eine positive endliche
Zahl von der Eigenschaft, dass beständig
\[
c \geqq q
\]
erfüllt ist.

Da, wie schon gesagt, die Transformationen der Gruppe ($\bar{U}$),
die Entfernung des Punktes ($a\, b\, b_0\, c$) von der Fundamentalsehne $\sigma_0$
%\File{051.png}
nicht ändern, machen wir Gebrauch von Bemerkung 1, § 8; d.~h.\
wir greifen von den acht Punkten, die zu einem gegebenen aequivalent
sind, durch die Substitutionen der Gruppe ($U$) immer denjenigen
Punkt $P$ heraus, dessen Koordinaten den Bedingungen
genügen
\[
a \geqq c;\quad b_1 + b_2 \geqq 0;\quad b_1 - b_2 > 0,     \tag{4}
\]
wir wollen annehmen, dass der Punkt ($a\, b_1\, b_2\, c$) selber dieser
Punkt $P$ sei.

Aus den Relationen (B\textprime), § 10 folgt, dass der Punkt $P$: ($a\, b_1\, b_2\, c$)
dann und nur dann dem Fundamentaloktaeder $T_0$ angehört, so
bald seine Koordinaten noch der Bedingung genügen
\[
c - 2 b_1 \geqq 0.         \tag{5}
\]
--- Sind (4) und (5) erfüllt, so sind alle Ungleichungen (B\textprime) § 10
befriedigt. ---

Nehmen wir nun an (5) sei noch nicht befriedigt, sondern es
sei vielmehr
\[
c - 2 b_1 < 0,      \tag{6}
\]
und unterwerfen wir $P$ der Transformation
\[
N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\]
so gehen dabei (vgl.\ (3), § 6)
\[\tag{$N$}
\begin{alignedat}{4}
&a&&\text{ in }a - 2 b_1 + c \qquad &&b_2&&\text{ in }b_2\\
&b_1&&\text{ in }b_1 - c             && c&&\text{ in }c
\end{alignedat}\]
über, und ferner das Produkt
\[
a · c\text{ in }a · c + (c - 2 b_1) · c.       \tag{7}
\]
Das letztere ergibt die Entfernung des transformierten Punktes
von der Sehne $\sigma_0$.

An Hand von Bemerkung 1 und von (6) überzeugt man sich
daher von der Richtigkeit des folgenden Satzes.

\begin{Prop}
2. Satz: \glqq{}Die Operation ($N$) reduziert die Entfernung eines
Punktes ($a\, b_1\, b_2\, c$), dessen Koordinaten den Bedingungen (4)
genügen, von der Fundamentalsehne $\sigma_0$ immer, solange der
Punkt dem Fundamentaloktaeder $T_0$ noch nicht angehört.\grqq{}
\end{Prop}
%\File{052.png}

Die Reduktion wird daher in der folgenden Weise zu geschehen
haben. Wir fassen nach jeder Operation ($N$) denjenigen der acht
Punkte ins Auge, der dem eben erhaltenen aequivalent ist durch
eine Substitution der Gruppe ($\bar{U}$), und dessen Koordinaten den
Bedingungen (4) genügen, und diesen unterwerfen wir von neuem
der Substitution ($N$); das wird solange wiederholt, als die Relation
(5) noch nicht erfüllt ist. Da ja hierbei die Entfernung des betrachteten
Punktes von der Sehne $\sigma_0$ beständig verkleinert wird,
so muss dieselbe einmal ein Minimum werden, wo dann der
Punkt ins Innere oder auf die Begrenzung von $T_0$ zu liegen
kommt, und die korrespondierende Hermitesche Form eine reduzierte
ist.

Wir wollen zum Schluss dieses Paragraphen noch zeigen, dass
das gewünschte Ziel für jede definite Hermitesche Form nach
endlich vielen Operationen ($N$) eintritt. Die Überlegung ist die
folgende. Zunächst bewirken die zwischen die Operationen ($N$)
eingeschobenen Transformationen $U$ nur eine Vertauschung von $a$
und $c$ und bezw.\ von $±b_1$, $±b_2$ untereinander (vgl.\ (5), § 8), und
zwar so, dass an Stelle von $a$ die grössere der beiden Zahlen $a$
und $c$ tritt und ferner an Stelle von $b_1$ die grössere von $|b_1|$ und
$|b_2|$, die absoluten Beträge der vier Zahlen bleiben dabei ungeändert.
Solange der Punkt $P$ noch nicht dem Oktaeder $T_0$ angehört,
wird durch die Operation ($N$) wie aus ($N$) folgt
\begin{alignat*}{3}
&a&&\text{ um }&&2 b_1 - c,\\
&b_1&&\text{ um }&&c\text{ verkleinert, während}\\
&b_2&&\text{ und }&&c\text{ ungeändert bleiben.}
\end{alignat*}
Bei dem besprochenen Verfahren wird also beständig von der
grösseren der beiden Zahlen $|b_1|$ und $|b_2|$ eine Grösse $c$ subtrahiert,
die wohl kleiner wird (mit $a$), die aber immer grösser ist als eine
endliche Zahl $q$ (vgl.\ Bemerkung 2 oben), währenddem die andere
der beiden Zahlen $|b_1|$ und $|b_2|$ ungeändert bleibt. Machen wir
Gebrauch von der Bezeichnung in Bemerkung 2, wo ($a^*\, b_1^*\, b_2^*\, c^*$) die
Ausgangsform war, und bedeuten $n$ und $m$ diejenigen beiden ganzen
rationalen Zahlen, die
\[
\frac{|b_1| }{ q} - 1 < n \leqq \frac{|b_1| }{ q};\quad \frac{|b_2| }{ q} - 1 < m \leqq \frac{|b_2| }{ q}
\]
%\File{053.png}
genügen, dann werden noch höchstens ($n + m$) Operationen ($N$)
$|b_1|$ und $|b_2|$ die Bedingungen
\[
2 |b_1| \geqq q > |b_1|;\quad  2 |b_2| \geqq q > |b_2|
\]
befriedigen. Nimmt man nun den ungünstigsten Fall an, dass der
dann auftretende Wert von $c$, $\bar{c}$ sei derselbe, er ist nach Bemerkung
$2 \geqq q$, auch
\[
2 |b_1| \geqq \bar{c} > |b_1|;\quad  2 |b_2| \geqq \bar{c} > |b_2|
\]
Genüge leiste, so erhält man, wenn man die Operation ($N$) noch
höchstens zweimal wiederholt, für die linke Seite von (5)
\begin{alignat*}{3}
&\bar{c} - 2 (\bar{c} - |b_1|) &&= 2 |b_1| - \bar{c} &&\geqq 0\\
&\bar{c} - 2 (\bar{c} - |b_2|) &&= 2 |b_2| - \bar{c} &&\geqq 0,
\end{alignat*}
d.~h.\ die Ungleichung (5) ist dann erfüllt und das ist um so mehr
der Fall, wenn nach der ersten dieser Operationen an Stelle von
$\bar{c}$ ein noch kleinerer Wert tritt. Nach höchstens $n + m + 2 - \text{Operationen
($N$)}$, also auch einer endlichen Anzahl, ist somit die
Ausgangsform in eine reduzierte Form übergeführt.

\Section{§ 13}{Der Algorithmus der Reduktion der definiten Hermiteschen Form.}

Aus der Diskussion in § 12 folgt, dass die Operation $N$ die
einzige notwendige reduzierende Substitution ist, sofern man noch
die Transformationen der Gruppe ($\bar{U}$) zu Hülfe nimmt.

Durch diese letztern kann jeder beliebige Punkt in einen eindeutig
bestimmten Punkt übergeführt werden, dessen Koordinaten
die Relationen
\[
a \geqq c;\quad  b_1 + b_2 \geqq 0;\quad  b_1 - b_2 > 0     \tag{1}
\]
befriedigen. Diese Überführung hat nach jeder reduzierenden
Operation zu geschehen, wenn die Koordinaten des neuen Punktes (1)
nicht mehr Genüge leisten.

Nun ist bekanntlich die allgemeine Substitution $U = U_1^r U_2^s$
(vgl.\ (3) § 8). Um die gewünschte Transformation U zu bewerkstelligen,
wird man am einfachsten etwa folgendermassen verfahren.
%\File{054.png}

Ist $a \geqq c$, so genügt es, die Transformation
\[
U_1 (a\, b_1\, b_2\, c) = (a,-b_2, b_1, c)       \tag{2}
\]
so oft zu wiederholen, bis die beiden letzten Ungleichungen (1)
erfüllt sind.

Ist $a < c$, so lässt man die Transformation
\[
U_2 (a\, b_1\, b_2\, c) = (c, b_1, -b_2, a)       \tag{3}
\]
vorausgehen und wiederholt dann $U_1$ noch so oft als notwendig ist.

Der eigentliche Algorithmus besteht nun darin, aus gegebenen
Zahlen $a\, b_1\, b_2\, c$, die (1) genügen, die beiden Aggregate
\[
a - 2 b_1 + c\quad\text{und}\quad b_1 - c       \tag{4}
\]
zu bilden und an Stelle von $a$ und bezw.\ $b_1$ zu setzen. Die Operation
(4) muss so oft wiederholt werden, bis endlich
\[
c -2b_1 \geqq 0          \tag{5}
\]
ist, wobei $a\, b_1\, b_2\, c$ auch den Relationen (1) zu genügen haben. Ist
das der Fall, so liegt der betreffende Punkt im Innern oder auf
der Begrenzung von $T_0$, und die zugehörige definite Hermitesche
Form ist eine reduzierte.

In den folgenden beiden Beispielen ist die Reduktion durchgeführt
für die Formen
\begin{gather*}
\phantom{\quad\text{und}} (37, -36, 27, 57) \quad\text{und}\\
(757, -522, -39, 362).
\end{gather*}

Zur Erläuterung der Tabellen sei bemerkt: Die erste Kolonne
enthält die Koeffizienten $a\, b_1\, b_2\, c$, wie sie sich nach jeder reduzierenden
Operation (4) ergeben. In der zweiten Kolonne sind die
Transformationen $U$ notiert, die die Form links in diejenige rechts
($\bar{a}\, \bar{b_1}\, \bar{b_2}\, \bar{c}$) überführen, welch letztere den Bedingungen (1) Genüge
leisten. In der letzten Rubrik sind die Aggregate (4) selber angegeben.

$R$ bedeutet diejenige Transformation, die den Repräsentanten
aus seiner Anfangslage in denjenigen Bereich von $T_0$ übergehen
lässt, der durch die Ungleichungen (1) noch näher charakterisiert ist.
%\File{055.png}


\newpage
1. \so{Beispiel.}

\begin{center}Form (37, -36, 27, 57).\end{center}
\[
\begin{array}{rrrr|c|rrrr|cc}
a  & b_1&  b_2 & c & U & \bar{a} & \bar{b_1} & \bar{b_2} & \bar{c} & \bar{a} -2 \bar{b_1} + \bar{c} & \bar{b_2} - \bar{c}\\
\hline
37 & -36 & 27  & 57 & U^2_1 U_2 & 57 & 36 & 27 &  37   &     22  &   -1\phantom{-}\\
22 & -1  & 27  & 37 & U_1 U_2   & 37 & 27 & -1 &  22   & \phantom{0}5  &    5\\
 5 &  5  & -1  & 22 & U_2         & 22 & 5  &  1 &   5   &     17  &    0\\
17 &  0  &  1  &  5 & U^3_1       & 17 & 1  &  0 &   5
\end{array}
\]
\begin{center}(17, 1, 0, 5) reduzierte Form.\end{center}
\[
R = U^3_1 N U_2 N U_1 U_2 N U^2_1 U_2 = \begin{pmatrix} 2 + i & 2 \\ 1 - i & - i \end{pmatrix}.
\]

2. \so{Beispiel.}

\begin{center}Form (757, -522, -39, 362).\end{center}
\[
\begin{array}{rrrr|c|rrrr|cc}
a  & b_1&  b_2 & c & U & \bar{a} & \bar{b_1} & \bar{b_2} & \bar{c} & \bar{a} -2 \bar{b_1} + \bar{c} & \bar{b_2} - \bar{c}\\
\hline
757 &-522 &-39 &362 &U^2_1       & 757 & 522 &  39 & 362  &  \phantom{0}75 & \phantom{-}160\phantom{0}\\
 75 & 160 & 39 &362 &U_2         & 362 & 160 & -39 &  75  &  117           & \phantom{-}85\\
117 &  85 &-39 & 75 &              &     &     &     &      &  \phantom{0}22 & \phantom{-}10\\
 22 &  10 &-39 & 75 &U^3_1 U_2 &  75 &  39 & -10 &  22  &  \phantom{0}19 & \phantom{-}17\\
 19 &  17 &-10 & 22 &U_2         &  22 &  17 &  10 &  19  &  \phantom{00}7 & \phantom{0}{-2}\\
  7 &  -2 & 10 & 19 &U_1 U_2   &  19 &  10 &  -2 &   7  &  \phantom{00}6 & \phantom{-0}3\\
  6 &   3 & -2 &  7 &U_2         &   7 &   3 &   2 &   6
\end{array}
\]
\begin{center}(7, 3, 2, 6) reduzierte Form.\end{center}
\[
R = U_2 N U_1 U_2 N U_2 N U^3_1 U_2 N N U_2 N U^2_1 = \begin{pmatrix} 1 + 4 i & 1 + 6 i \\ 1 - 5 i & 2 - 7 i \end{pmatrix}.
\]

\Section{\S\ 14.}{Die reduzierte Form.}

Es ermangelt noch, einige Bemerkungen, die reduzierte Form
betreffend, folgen zu lassen. Wir wollen die Koeffizienten einer
reduzierten Form fernerhin mit grossen Buchstaben bezeichnen.

Ist ($A\, B_1\, B_2\, C$) derjenige Punkt, bezw.\ diejenige Form, auf
die wir schliesslich ge\-führt werden bei dem im vorangehenden
%\File{056.png}
Paragraphen geschilderten Verfahren, so ge\-nügen $A\, B_1\, B_2\, C$ den
Bedingungen (1) und (5) § 13, d.~h.\ es ist
\[
A \geqq C;\quad B_1 + B_2 \geqq 0;\quad B_1 - B_2 > 0;\quad C - 2 B_1 \geqq 0. \tag{1}
\]
Vermöge der Transformationen der Gruppe ($\bar{U}$) gibt es zu
der Form ($A\, B_1\, B_2\, C$) das folgende System von aequivalenten reduzierten
Formen.
\[\tag{2}
\begin{alignedat}{6}
\alpha\quad &(A    && B_1    && B_2\; C) \qquad &\beta\quad &(A\;- && B_2    && B_1\; C)\\
            &(A\;- && B_1\;- && B_2\; C)        &           &(A    && B_2\;- && B_1\; C)\\
            &(C    && B_1\;- && B_2\; A)        &           &(C    && B_2    && B_1\; A)\\
            &(C\;- && B_1    && B_2\; A)        &           &(C\;- && B_2\;- && B_1\; A)
\end{alignedat}\]
(vgl.\ 5 § 8). Wie wir schon aus § 8 wissen, gehört die Aequivalenz
der acht Formen (2) nicht der Picardschen Gruppe $\Gamma$
allein an, sondern vielmehr der Gruppe $\bar{\Gamma}$, indem ja die Transformation
$U_1$ von der Determinante $i$ und nicht $1$ ist.

Die acht Substitutionen $U$ zerfallen in zwei Quadrupel
\[\tag{3}
\begin{alignedat}{4}
\alpha : &U^0_1,      && U^2_1,     && \phantom{U}U_2,      && U^2_1 U_2\\
\beta  : &U_1,  \quad && U^3_1,\quad&& U_1 U_2     ,\quad && U^3_1 U_2
\end{alignedat}\]
von der Eigenschaft, dass die Substitutionen des ersten Quadrupels
$\alpha$ der Gruppe $\Gamma$, diejenigen des zweiten Quadrupels $\beta$ nur erst
der Gruppe $\bar{\Gamma}$ angehören; zugleich gehen die Transformationen
(3) $\beta$ aus denen von (3) $\alpha$ hervor, wenn man zu diesen letzteren
nochmals die Substitution $U_1$ hinzunimmt. Daraus folgt, dass diejenigen
Formen, die etwa aus der einen ($A\, B_1\, B_2\, C$) entspringen
durch die Transformationen eines der beiden Quadrupel von (3)
einander aequivalent sind durch die Picardsche Gruppe $\Gamma$.

Bei Betrachtung von (5), (6) und (7) § 8 erkennt man, dass
dann ($2\, \alpha$) das eine, ($2\, \beta$) das andere System von einander aequivalenten
reduzierten Formen bildet.

Gibt es, wie eben dargetan wurde, im allgemeinen vier zu
einer gegebenen Form aequivalente, reduzierte Formen, so können
doch Spezialfälle eintreten, wo diese Anzahl vermindert, bezw.\ vermehrt
wird. Es hängt dies zusammen mit der Lage, die der Repräsentant
der reduzierten Form im Fundamentaloktaeder $T_0$ einnimmt.
%\File{057.png}

Sind z.~B. $B_1 = 0$ und $B_2 = 0$, so gibt es nur die beiden reduzierten
Formen
\[
(A\,0\,0\,C)\text{ und }(C\,0\,0\,A)
\]
Ebenso wenn $A = C$ und $B_1 = 0$, oder wenn $A = C$ und
$B_2 = 0$ ist, dann gibt es auch nur je zwei reduzierte Formen,
nämlich
\begin{align*}
&(A\,0\,B_2\,A)\text{ und }(A\,0\,-B_2\,A),\text{ bezw.}\\
&(A\,B_1\,0\,A)\text{ und }(A\,-B_1\,0\,A).
\end{align*}

Ist gar $A = C$ und $B_1 = B_2 = 0$, so gibt es nur die eine reduzierte
Form
\[
(A\,0\,0\,A)
\]
deren Repräsentant der Mittelpunkt der Kugel $\frakK$ ist.

In den eben angeführten Fällen liegt der Repräsentant in der
Hauptdiagonale, bezw.\ in einer Mittellinie des Oktaeders $T_0$. Gehört
derselbe jedoch der Begrenzung von $T_0$ an, dann gibt es gewöhnlich
eine grössere Anzahl von reduzierten Formen. Liegt
er beispielsweise auf der Seitenfläche $c = 2b_1$, dann tritt zu den
vier Formen, die gemäss $(2\, \alpha)$ erhalten werden, noch ein weiteres
Quadrupel von reduzierten Formen, indem nämlich diejenige Transformation,
die den an die Seite $c = 2b_1$ anstossenden Flächennachbar
von $T_0$ in $T_0$ selber überführt, im allgemeinen zu einem
neuen Repräsentanten einer reduzierten Form Anlass gibt, der
sich in gewöhnlicher Weise vervierfältigt. Man findet in diesem
Falle die folgenden acht reduzierten Formen
\begin{alignat*}{8}
(A &&  \frac{C}{2} &&  B_2 &&\;C) \qquad\qquad
                                     && (A &&\;- \frac{C}{2} &&  B_2 &&\;C)\\
(A &&\;- \frac{C}{2} &&\;- B_2 &&C) \qquad\qquad
                                     && (A &&  \frac{C}{2} &&\;- B_2 &&C)\\
(C &&- \frac{C}{2} &&  B_2 &&A) \qquad\qquad
                                     && (C &&  \frac{C}{2} &&  B_2 &&A)\\
(C &&  \frac{C}{2} &&- B_2 &&A) \qquad\qquad
                                     && (C &&- \frac{C}{2} &&- B_2 &&A)&.
\end{alignat*}

Auf analoge Systeme wird man geführt, wenn der Repräsentant
auf einer der andern Seitenflächen von $T_0$ liegt, oder wenn er
einer Kante desselben angehört.

Es muss nun natürlich auch noch entschieden werden, welches
der beiden Formensysteme ($2\, \alpha$ und $\beta$) der ursprünglich gegebenen.
nicht reduzierten Form aequivalent ist bezüglich der Gruppe $\Gamma$.
%\File{058.png}

Der Entscheid ist ein sehr einfacher. Die Substitutionen $U_2$
(vgl.\ 2,  § 8) und N (vgl.\ § 12) sind von der Determinante 1, $U_1$
dagegen besitzt die Determinante $i$ (vgl.\ 2, § 8). Nimmt man nun
die Reduktion in der Weise vor, wie in § 12 gezeigt wurde, so
hat die fertige reduzierende Substitution $R$ die Gestalt
\[
R = U_1^{r_1} U_2^{s_1} N U_1^{r_2} U_2^{s_2} N U_1^{r_3} U_2^{s_3} N U_1^{r_4} \dotsc    \tag{4}
\]
Soll dies eine Transformation der Gruppe $\Gamma$ sein, so muss die
Determinante
\[
|R| = ±1
\]
sein. Aus (4) folgt nun aber, dass
\[
|R| = i^{(r_1 + r_2 + r_3 + \dotsb)}        \tag{5}
\]
wird, und daraus erkennt man die Richtigkeit der folgenden

\so{Bemerkung.} a) Ist in $R$
\[
r_1 + r_2 + r_3 + \dotsb = 2n,
\]
wo $n$ eine ganze rationale Zahl bedeutet, dann ist ($A\, B_1\, B_2\, C$) eine
der ursprünglich gegebenen, aequivalente reduzierte Form und das
Quadrupel ($2\, \alpha$) ist die Gesamtheit aller aequivalenten reduzierten
Formen.

b) Ist aber in $R$
\[
r_1 + r_2 + r_3 + \dotsb = 2 n + 1,
\]
wo $n$ dieselbe Bedeutung hat wie oben, dann ist $|R| = ± i$, dagegen
ist dann $|U_1 R| = ± 1$. Nun geht bekanntlich das Formensystem
$(2\, \beta)$ aus demjenigen $(2\,\alpha)$ hervor durch die Transformation
$U_1$, es ist daher in diesem Falle $(2\,\beta)$ das System der
reduzierten Formen, die zu der ursprünglich gegebenen Form
aequivalent sind.

Um die im vorigen Paragraphen durchgeführten Beispiele zu
ergänzen, sei noch folgendes beigefügt.

Für das erste Beispiel ist
\[
r_1 + r_2 + r_3 + \dotsb = 3 + 1 + 2 = 6;
\]
die zu der Form
\[
(37, -36, 27, 57)
\]
%\File{059.png}
gehörigen aequivalenten reduzierten Formen sind daher
\begin{alignat*}{2}
&(17,\, \phantom{-{}} 1,\, 0,\, 5)  \qquad&&  (5,\, \phantom{-{}}1,\, 0,\, 17) \\
&(17,\, -1,\, 0,\, 5)               &&  (5,\, -1,\, 0,\, 17).
\end{alignat*}

Die reduzierende Substitution ist, wie wir aus Satz~1 §~12
wissen, die transponierte zu
\[
R = \begin{pmatrix} 2+i & 2 \\ 1-i & -i \end{pmatrix} \text{ also }
\begin{pmatrix} 2+i & 1-i \\ 2 & -i \end{pmatrix}
\]

Für das zweite Beispiel ist
\[
r_1 + r_2 + r_3 + \dots = 1 + 3 + 2 = 6,
\]
und da ausserdem die reduzierte Form $(7,\, 3,\, 2,\, 6)$ der Bedingung
genügt $2 B_1 - C = 0$, so wird das System der zu
\[
(757,\, -522,\, -39,\, 362)
\]
aequivalenten reduzierten Formen das folgende
\begin{alignat*}{2}
&(7,\, \phantom{-{}}3,\, \phantom{-{}}2,\, 6)\qquad  && (7,\,  -3,\, \phantom{-{}}2,\, 6) \\
&(7,\, -3,\, -2,\, 6)                          && (7,\, \phantom{-{}}3,\,  -2,\, 6) \\
&(6,\, -3,\, \phantom{-{}}2,\, 7)              && (6,\, \phantom{-{}}3,\, \phantom{-{}}2,\, 7) \\
&(6,\, \phantom{-{}}3,\, -2,\, 7)              && (6,\,  -3,\,  -2,\, 7).
\end{alignat*}

Die reduzierende Substitution ist die transponierte zu
\[
R = \begin{pmatrix} 1+4i & 1+6i \\ 1-5i & 2-7i \end{pmatrix}, \text{ also }
\begin{pmatrix} 1+4i & 1-5i \\ 1+6i & 2-7i \end{pmatrix}
\]


\Section{§ 15.}
{Die Dirichletsche Form.}


Die Dirichletsche Form ist eine binäre quadratische Form
von derselben Gestalt wie die Gauss'sche Form, nämlich
\[
au^2 + 2buv + cv^2.
\tag{1}
\]
$a$, $b$, $c$, sind bestimmte, $u$ und~$v$ beliebige komplexe Zahlen. ---
Wir wollen für dieselbe, d.~h.\ für den Ausdruck~(1) fernerhin das
Symbol $(a\, b\, c)$ verwenden.
%\File{060.png}

Da es bei den vorliegenden Untersuchungen wieder nur auf
das Verhältnis der Koeffizienten $a, b, c$ der Form ankommt, so
wollen wir zwei Formen $(a\,b\,c)$ und $(a'\,b'\,c')$, die den Proportionen
Genüge leisten
\[
a':b':c' = a:b:c
\]
als nicht wesentlich verschieden ansehen.

Gleich wie für die definite Hermitesche Form, suchen wir
auch für die Dirichletsche Form ein geometrisches Gebilde an der
Kugel $\frakK$, das derselben eindeutig entsprechen soll.

Der Form $(a\,b\,c)$ können wir eindeutig die Gleichung
\[
a \zeta^2 + 2b \zeta +c = 0
\]
zuordnen, und dieser wiederum lassen wir die im Innern von $\frakK$
gelegene Sehne $(a\,b\,c)$ korrespondieren (vgl.\ Diskussion § 5), und
betrachten dieselbe als Repräsentant der Form (1). --- Es ist dabei
vorausgesetzt, dass die Diskriminante $D = b^2 - ac \neq 0$ sei. ---

Wir wollen in Zukunft nicht nur die Form, sondern auch
deren Repräsentant abkürz\-end mit $(a\,b\,c)$ bezeichnen.

Definition. Der Dirichletschen Form $(a\,b\,c)$, deren Diskriminante
$b^2 - ac \neq 0$ sein soll, soll die im Innern der Kugel $\frakK$
gelegene Sehne $(a\,b\,c)$ als eindeutig bestimmter Repräsentant zugeordnet
werden.

Sehen wir zuerst zu, wie verhalten sich Form und zugehöriger
Repräsentant gegenüber einer linearen Transformation.

Substituiert man in (1)
\[\begin{aligned}
u &= \alpha u' + \beta v'\\
v &= \gamma u' + \delta v'
\end{aligned}
\text{\quad wo } \alpha \delta - \beta \gamma \neq 0,         \tag{2}
\]
so geht dieselbe über in die neue Form
\[
a'u'^2 + 2 b'u'v' + c'v'^2
\]
und man findet durch einfache Rechnung
\begin{align*}
a' &= a \alpha^2 + 2b \alpha \gamma + c\gamma^2\\
b' &= a \alpha \beta + b (\alpha \delta + \beta \gamma) + c \gamma \delta     \tag{3}\\
c' &= a \beta ^2 + 2 b \beta \delta + c \delta^2.
\end{align*}
%\File{061.png}

Sind nun $\zeta_1$ und~$\zeta_2$ die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung,
also etwa
\[
\zeta_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - a c}}{a}, \qquad
\zeta_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - a c}}{a},
\tag{4}
\]
und sind ferner $\zeta_1'$ und~$\zeta_2'$ diejenigen der durch (2) transformierten
Gleichung, so besteht der Zusammenhang
\[
\zeta_1 = \frac{\alpha \zeta_1 + \beta}{\gamma \zeta_1' + \delta}, \qquad
\zeta_2 = \frac{\alpha \zeta_2' + \beta}{\gamma \zeta_2' + \delta},
\]
oder umgekehrt,
\[
\zeta_1' = \frac{-\delta \zeta_1 + \beta}{\gamma \zeta_1 - \alpha}, \qquad
\zeta_2' = \frac{-\delta \zeta_1' + \beta}{\gamma \zeta_1' - \alpha}.
\tag{5}
\]

In der Tat findet man, wenn man aus (4) $\zeta_1$ entnimmt, in
(5) einsetzt und $\sqrt{b_2 - a c}$ aus dem Nenner entfernt
\[
\zeta_1' = \frac{-(a \alpha \beta + b(\alpha \delta + \beta \gamma) + c \gamma \delta)
  + (a \delta - \beta \gamma) \sqrt{b^2 - a c}}{a \alpha^2 + 2b \alpha \gamma + c \gamma^2}.
\]

Wir kommen so zu dem Satz:
\begin{Prop}{}
\glqq{}Wenn die Form $(a\, b\, c)$ durch die Transformation
\[
S = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
\]
übergeht in die Form $(a'\, b'\, c')$, dann geht die repräsentierende
Sehne $(a\, b\, c)$ durch die zu $S$ inverse Transformation
\[
S^{-1} = \begin{pmatrix} -\delta & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{pmatrix}
\]
in den Repräsentanten $(a'\,b'\,c')$ der transformierten Form
über."
\end{Prop}

Durch diese Tatsache ist auch die folgende Festsetzung begründet.

Bedeutet $S$ eine Transformation, der wir die Sehne~$(a\, b\, c)$ unterwerfen
und ist $(a'\, b'\, c')$ die dabei herauskommende neue Sehne,
so wollen wir wie bisher schreiben
\[
(a'\, b'\, c') = S (a\, b\, c).
\]

Ist aber $S$ eine Transformation, die wir auf die Form $(a\, b\, c)$
ausüben und geht dieselbe dadurch über in die Form $(a'\, b'\, c')$, so
wollen wir das so schreiben
%\File{062.png}
\[
(a'\,b'\,c') = (a\,b\,c) S.
\]

Es hat diese Unterscheidung in der Schreibweise ihren innern
Grund. Bedeutet nämlich $S_1$ eine zweite lineare Transformation
und unterwerfen wir sowohl die Form $(a\,b\,c)$ als auch die Sehne
$(a\,b\,c)$ zuerst der Transformation $S$ und dann der Transformation $S_1$
und sei $(a'\,b'\,c')$ die neue Form bezw.\ Sehne, so ist für die Sehne
\[
(a'\,b'\,c') = S_1 S (a\,b\,c)
\]
für die Form aber
\[
(a'\,b'\,c') = (a\,b\,c) S S_1,
\]
die zusammengesetzte Transformation ist also im ersten Falle $S_1 S$,
im zweiten Falle dagegen $S S_1$.

\Section{§ 16.}{Einführung derjenigen Invariante, auf welche die Theorie der Transformationen
der Dirichletschen Form gegründet werden soll.}

Als Repräsentanten der Form $(a\,b\,c)$ in der Kugel $\frakK$ haben
wir bereits im vorangehenden Paragraphen die Kugelsehne $(a\,b\,c)$
eingeführt. Es ermangelt noch einen geeigneten Repräsentanten
$\sigma$ für die Substitution
\[
S = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \tag{1}
\]
zu wählen, um dann die Invariante, auf die wir es gemäss der
allgemeinen Diskussion in § 1 abgesehen haben, aufzustellen.

Es empfiehlt sich als $\sigma$ denjenigen der Substitution (1) eindeutig
korrespondierenden Punkt zu wählen, dessen Koordinaten
sind
\[
\alpha \alpha_0 + \beta \beta_0 : \alpha \gamma_0 + \beta \delta_0 : \alpha_0 \gamma + \beta_0 \delta : \gamma \gamma_0 + \delta \delta_0. \tag{2}
\]

Wir wollen fernerhin den Punkt (2) mit $M$\footnote{%
  Der Punkt M ist Mittelpunkt desjenigen Oktaeders, das zur Elementarsehne
  $\begin{pmatrix} \dfrac{\alpha}{\gamma}, & \dfrac{\beta}{\delta} \end{pmatrix}$ gehört.
} bezeichnen und
es soll $M_0$ derjenige der Punkte $M$ sein, für welchen $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\  0 &  1\end{pmatrix}$,
d.~h.\ der Punkt $(1,\,0,\,0,\,1)$. Es ist das der Mittelpunkt der Kugel $\frakK$.
%\File{063.png}

Als Invariante, auf welche die Transformationstheorie der
Dirichletschen Form gegründet werde, nehmen wir dann die Entfernung
der Sehne $(a\,b\,c)$ vom Punkte $M$ an; wir wollen sie kurz
bezeichnen als Entfernung $(M, (a\,b\,c))$.

In § 5 haben wir gezeigt, dass die Entfernung der Sehne
$(a'\,b'\,c')$ vom Punkte $M_0$ im wesentlichen bestimmt ist durch den
Quotienten
\[
\frac{a' a'_0 + 2 b' b'_0 + c' c'_0 }{ \sqrt{ D D_0}},\text{ wo }D = b'^2 - a' c'     \tag{3}
\]
in dem Sinne, dass die Entfernung mit diesem Quotienten zugleich
wächst und abnimmt.

Sei nun $(a'\,b'\,c')$ diejenige Sehne, welche durch die Transformation
(1) nach der Sehne $(a\,b\,c)$ übergeführt wird, ist also
\[
\text{Sehne }(a\,b\,c) = S (\text{Sehne }(a'\,b'\,c'))
\]
so folgt aus dem Satz in § 15, dass
\begin{align*}
\text{Form }(a\,b\,c) &= S^{-1} (\text{Form }(a'\,b'\,c'))\text{ oder}\\
\text{Form }(a'\,b'\,c') &= S (\text{Form }(a\,b\,c))
\end{align*}
ist. D.~h.\ $a\,b\,c$ und $a'\,b'\,c'$ sind direkt durch das Formelsystem
(3) § 15 miteinander verbunden. Es ist also
\begin{align*}
a' &= a \alpha^2 + 2 b \alpha \gamma + c \gamma^2\\
b' &= a \alpha \beta  + b (\alpha \delta + \beta \gamma) + c \gamma \delta    \tag{4}\\
c' &= a \beta^2 + 2 b \beta \delta + c \delta^2.
\end{align*}

Durch dieselbe Transformation (1) geht auch der Punkt $M_0$
über in den Punkt $M$ (vgl.\ (2)). Denkt man sich daher in (3)
an Stelle von $a'\,b'\,c'$ die Ausdrücke von (4) eingesetzt und zwar
auch in $D$, dann bestimmt (3) die Entfernung der Sehne $(a\,b\,c)$
vom Punkte $M$.

Nun ist die Diskriminante $D = b'^2 - a' c'$ eine Invariante,
die sich bei den Substitutionen der Gruppe $\Gamma$ gar nicht ändert.

Der Nenner des Quotienten in (3) ist daher eine positive
Konstante, soll somit der Bruch möglichst klein werden, so muss
der (stets positive) Zähler möglichst klein werden, d.~h.\ es muss
\[
(a' a'_0 + 2 b' b'_0 + c' c'_0)
\]
ein Minimum werden.
%\File{064.png}

Wir kommen so zu dem folgenden Satz:
\begin{Prop}{}
\glqq{}Soll die Entfernung der Sehne~$(a\, b\, c)$ vom Punkte~$M$,
dessen Koordinaten durch~(2) gegeben sind, eine kleinste
werden, so muss
\[
a a'_0 + 2 b' b'_0 + c' c'_0
\]
ein Minimum werden, wo man an Stelle von $a'\, b'\, c'$ die
rechten Seiten der Gleichungen~(4) gesetzt denken muss\grqq{}.
\end{Prop}

Auf den Ausdruck
\[
E = a' a'_0 + 2 b' b'_0 + c' c'_0
\tag{5}
\]
werden wir also die Theorie der Transformationen der Dirichletschen
Form, insbesondere die Reduktionstheorie derselben basieren.


\Section{§ 17.}
{Notwendige Bedingung dafür, dass die Sehne~$(a\, b\, c)$ vom Punkte~$M_0$
eine kleinste Entfernung habe.}

Um die im Titel dieses Paragraphen ausgesprochene Forderung
präziser fassen zu können, geben wir die folgende

\Definition. Besitzt die Sehne~$(a\, b\, c)$ die Eigenschaft, dass
sie vom Punkte~$M_0$ eine kleinere oder doch nicht grössere Entfernung
hat, als von jedem andern Punkte~$M$, so bezeichnen wir
die Entfernung $(M_0,\, (a\, b\, c))$ als eine kleinste.

In §~5 sind unter~(2) die Koordinaten desjenigen Punktes~$F'$
der Sehne~$(a'\,b'\,c')$ notiert, welcher vom Mittelpunkte~$M_0$ eine
kleinere Entfernung hat als jeder andere Punkt von~$(a'\, b'\, c')$.

Ist nun $(a\, b\, c)$ die betrachtete Form bezw.\ deren repräsentierende
Sehne, so wollen wir in Zukunft immer denjenigen Punkt
der Sehne, der von $M_0$ die kleinste Entfernung hat, kurz $F$-Punkt
nennen und seine Koordinaten mit $(f_1\, f\, f_0\, f_2)$ bezeichnen. Sie sind
zufolge (2)~§~5
\[\begin{aligned}
f_1 &= b b_0 + c c_0 + \sqrt{D D_0} \\
f     &= -(a_0 b + b_0 c)               \\
f_0 &= -(a b_0 + b c_0)               \\
f_2 &= a a_0 + b b_0 + \sqrt{D D_0}.
\end{aligned}\tag{1}
\]
%\File{065.png}

Es soll nun der folgende Satz bewiesen werden:
\begin{Prop}{}
\glqq{}Die Entfernung der Sehne~$(a\, b\, c)$ vom Punkte~$M_0$ wird
sicher nur dann ein Minimum, wenn der $F$-Punkt derselben
dem Fundamentaloktaeder~$T_0$ angehört.\grqq{}
\end{Prop}

Um die Richtigkeit dieser Behauptung einzusehen, greifen wir
aus der Gesamtheit der Punkte~$M$ diejenigen acht heraus, die
Mittelpunkt je eines der Flächennachbaren von $T_0$ sind, und zeigen,
dass die im obigen Satz ausgesprochene Forderung erfüllt sein
muss, wenn man statt aller Punkte~$M$ nur die bewussten acht ins
Auge fasst. --- Denn gehört der $F$-Punkt $T_0$ nicht an, so hat unter
diesen Voraussetzungen die Sehne~$(a\, b\, c)$ wenigstens von einem
jener acht Punkte~$M$ eine kleinere Entfernung als von $M_0$, und es
ist dann auch die allgemeinere Forderung des obenstehenden Satzes
nicht erfüllt.

Setzt man $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ in (2)~§~16 ein, so erhält man die
homogenen Koordinaten eines der acht Punkte~$M$, sie sind $(2,\, 1,\, 1,\, 1)$;
wir wollen diesen mit~$M_1$ bezeichnen.

Indem man einmal $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ und dann $= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ annimmt
und in (4)~§~16 substituiert, ergeben sich die Grössen $a', b', c'$,
woraus sich dann das Aggregat (5)~§~16 aufbauen lässt. Man
erhält so die beiden Ausdrücke
\begin{align*}
E_0 &= a a_0 + 2 b b_0 + c c_0 \quad\text{bezw.} \\
E_1   &= a a_0 + 2 (a + b) (a_0 + b_0) + (a + 2b + c) (a_0 + 2b_0 + c_0).
\end{align*}

$E_0$ und $E_1$ sollen die Abkürzungen sein für die rechten Seiten;
sie bestimmen die Entfernungen der Sehne $(a\, b\, c)$ von den Punkten
$M_0$ bezw.\ $M_1$.

Aus den Relationen (B\textprime)~§~10 folgt, dass der Punkt $(x\, y\, y_0\, z)$
jedenfalls nur dann dem Fundamentaloktaeder~$T_0$ angehört, wenn
seine Koordinaten neben anderen auch die folgende Bedingung
erfüllen $z \geq y + y_0$ (sie lautet an jener Stelle $z \geq 2 y_1$). Diese
Ungleichung, angewendet auf den $F$-Punkt der Sehne $(a\, b\, c)$, ergibt,
wie man aus (1) entnimmt,
\[
B = a a_0 + b b_0 + (a b_0 + a_0 b) + (b c_0 + b_0 c) + \sqrt{D D_0} \geq 0.
\]
$B$ soll die Abkürzung bedeuten für die linke Seite dieser Ungleichung.
%\File{066.png}

Wir wollen nun zeigen, dass
\[
E_1 \geq E_0,
\]
d.~h.\ dass die Entfernung des Punktes~$M_1$ von der Sehne $(a\, b\, c)$
wenigstens ebenso gross sei als die des Punktes~$M_0$, nur dann erfüllt
sein kann, wenn
\[
B \geq 0
\]
ist. ---

Es sollen die folgenden abkürzenden Bezeichnungen eingeführt
werden.
\begin{alignat*}{7}
&a a_0 &&+ b b_0 &&+ \sqrt{D D_0} &&= A \qquad && b \sqrt{D_0} &&+ b_0 \sqrt{D} &&= L \\
&b b_0 &&+ c c_0 &&+ \sqrt{D D_0} &&= C        && a \sqrt{D_0} &&+ a_0 \sqrt{D} &&= J \\
&a a_0 &&+ a b_0 &&+ a_0 b        &&= R        &&              &&\qquad 2 a a_0 &&= T.
\end{alignat*}

Durch elementare Rechnung bestätigt man die Richtigkeit der
folgenden Relationen
\begin{align*}
A + C &= E_0 + 2 \sqrt{D D_0} \\
A^2 - L^2 &= \tfrac{1}{2} T (A + C) = \tfrac{1}{2} T (E_0 + 2 \sqrt{D D_0})\tag{I} \\
A · R - L · J &= \tfrac{1}{2} T · B.
\end{align*}
Alle diese Ausdrücke sind, wie man sieht, reell.

Bedeutet nun $\lambda$ eine beliebige reelle Zahl, so ist immer, wie
im übrigen $A$ und~$L$ auch beschaffen sein mögen,
\[
\{(A - L) - \lambda (A + L)\}^2 \geq 0,
\]
hieraus folgt: es ist auch
\[
\{(A - L) + \lambda (A + L)\}^2 \geq 4 \lambda (A^2 - L^2) = 2 \lambda T (E_0 + 2 \sqrt{D D_0})
\]
erfüllt. --- In dieser letzten Ungleichung wollen wir nun
\begin{center}
\begin{tabular}{cclclcl}
$a$ & durch & $a$,      & also & $A$     & durch & $A+R$ \\
$b$ & \glqq{}    & $a+b$,    &      & $L$     &  \glqq{}   & $L+J$ \\
$c$ & \glqq{}    & $a+2b+c$, &      & $E_0$   &  \glqq{}   & $E_1$
\end{tabular}
\end{center}
ersetzen, während $T$ und~$D$ dabei ungeändert bleiben. Es ist
dann auch
\[
\{(A - L + R - J) + \lambda (A + L + R + J)\}^2 \geq 2 \lambda T (E_1 + 2 \sqrt{D D_0}).
\]
%\File{067.png}

Wählen wir endlich noch
\[
\lambda = \frac{A - L}{A + L}
\]
und erweitern die ganze Ungleichung mit dem positiven Faktor
$(A + L)^2$, so geht diese über in
\[
\{(A + L)(A - L + R - J) + (A - L)(A + L + R + J)\}^2
  \geq 2 (A^2 - L^2) T (E_1 + 2 \sqrt{D D_0}),
\]
woraus schließlich unter Benützung von~(I)
\[
(E_0 + 2 \sqrt{D D_0} + B)^2 \geq (E_0 + 2 \sqrt{D D_0})(E_1 + 2 \sqrt{D D_0})
\tag{2}
\]
entspringt. Daraus folgt, da $E_0 + 2 \sqrt{D D_0} + B$ sicher positiv\footnote
  {Vgl.~p.~61.}
ist, der
\begin{Prop}{Satz:}
\glqq{}Soll $E_1 \geq E_0$ sein, so ist nach (2) umsomehr
\[
(E_0 + 2 \sqrt{D D_0} + B)^2 \geq E_0 + 2 \sqrt{D D_0})^2,
\]
und da ja $E_0 + 2 \sqrt{D D_0} > 0$ ist, so kann diese Ungleichung
nur dann erfüllt sein, wenn $B \geq 0$ ist.\grqq{}
\end{Prop}

Indem wir nun dieselbe Diskussion durchführen für jeden
andern der acht Punkte~$M$, die wir zu Anfang dieses Paragraphen
ins Auge gefasst haben, kommen wir noch zu sieben weiteren Bedingungen
analog zu $B \geq 0$, denen die Koordinaten~(1) des $F$-Punktes
der Sehne~$(a\, b\, c)$ genügen müssen, und man überzeugt sich
so sofort von der Richtigkeit der Behauptung, die in dem Satz am
Anfang dieses Paragraphen ausgesprochen wurde.

Wir wollen noch eine Bemerkung folgen lassen, die sich auf
das Minimum der Entfernung der Sehne~$(a\, b\, c)$ vom Mittelpunkte~$M_0$
bezieht.

Wenn $a,\, b,\, c$ beliebige komplexe Zahlen sind, so bleibt es unentschieden,
ob ein eigentliches Minimum der Entfernung $(M_0,\, (a\, b\, c))$
überhaupt existiert oder nicht. Sind aber $a,\, b,\, c$ (rationale oder
also) ganze komplexe Zahlen, so ist der Ausdruck
\[
E = a' a_0' + b' b_0' + c' c_0'
\]
--- wo an Stelle von $a',\, b',\, c'$ die rechten Seiten der Gleichungen
(3)~§~15 zu denken sind --- eine positive ganze rationale Zahl.
Wird $E$ für einen bestimmten Punkt~$M$ etwa gleich der Zahl~$N$,
%\File{068.png}
dann kann es für andere Punkte~$M$ zwar kleiner werden als~$N$,
doch ist nur noch eine endliche Auswahl von Möglichkeiten vorhanden,
nämlich die Reihe von Werten
\[
0, 1, 2, 3, \dots, N-1.
\]

In diesem Falle nimmt $E$ jedenfalls einen bestimmten kleinsten
Wert an, ob wir denselben nach einer endlichen Anzahl von Substitutionen
erreichen können, werden wir in der Folge sehen.


\Section{§ 18.}
{Die Theorie der Reduktion der Dirichletschen Form.}


In §~16 haben wir diejenige Invariante angegeben, auf welche
die Theorie der Transformationen der Dirichletschen Form $(a\, b\, c)$
gegründet werden soll.

Es ist das die Entfernung der Sehne~$(a\, b\, c)$ vom Punkte~$M$.
Übergehend zu der Reduktionstheorie, nehmen wir den Punkt~$M$
ein- für allemal fest an; am besten im Punkte~$M_0$ und fundieren
dann, analog wie bei der definiten Hermiteschen Form, die Reduktion
der Form~$(a\, b\, c)$ darauf, dass wir versuchen, die Entfernung
der repräsentierenden Sehne derselben vom Punkte~$M_0$ zu
einem Minimum zu machen.

Vorerst wollen wir die reduzierte Dirichletsche Form so definieren.

\Definition. Die Dirichletsche Form~$(a\, b\, c)$ soll dann, und nur
dann reduziert heissen, wenn die repräsentierende Sehne derselben
wenigstens einen Punkt mit dem Fundamentaloktaeder~$T_0$ gemein hat.

Aus dem Satz, den wir zu Anfang des vorangehenden Paragraphen
ausgesprochen haben, folgt, wenn die Entfernung $(M_0,\, (a\, b\, c))$
nach endlich vielen reduzierenden Operationen ein Minimum geworden
ist, dann ist die bezügliche Form sicher eine reduzierte.
Nun wollen wir in diesem Paragraphen zeigen, dass es gar nicht
notwendig ist, das vollkommene Minimum dieser Entfernung herzustellen,
sondern dass es genügt, dasselbe anzustreben, um bereits
nach einer endlichen Anzahl von Substitutionen auf eine reduzierte
Form zu kommen.

Das Verfahren ist das folgende. Nach jeder Substitution
%\File{069.png}
fassen wir den $F$-Punkt der Sehne~$(a\, b\, c)$ ins Auge, und gehen
so vor, als hätten wir diesen Punkt in $T_0$ überzuführen. Der
einzelne Schritt ist also derselbe wie bei der Reduktion der definiten
Hermiteschen Form. Doch bemerken wir: sei $(a\, b\, c)$ die
betrachtete Form bezw.\ deren repräsentierende Sehne, $(a'\, b'\, c')$ die
durch die Substitution~$S$ aus $(a\, b\, c)$ entspringende Form, bezw.\
deren Repräsentant, dann geht im allgemeinen der $F$-Punkt der
Sehne~$(a'\, b'\, c')$ nicht aus dem $F$-Punkt von $(a\, b\, c)$ hervor, sofern
wenigstens $S$ nicht eine Substitution der Gruppe~$(U)$ ist, die den
Punkt~$M_0$ in sich transformieren. --- Wir betrachten also bei der
Reduktion nicht einen festen Punkt der die Form repräsentierenden
Sehne, sondern einen veränderlichen Punkt derselben.

Die homogenen Koordinaten des $F$-Punktes der Sehne~$(a\, b\, c)$
sind (vgl.~1, §~17).
\[\begin{aligned}
f_1 &=   b b_0 + c c_0 + \sqrt{D D_0} \\
f\phantom{{}_1}     &= - (a_0 b + b_0 c) \\
f_0 &= - (a b_0 + b c_0) \\
f_2 &=   a a_0 + b b_0 + \sqrt{D D_0},
\end{aligned}\tag{1}
\]
oder indem wir an Stelle von $f$ und~$f_0$ $f'$ und~$f''$ einführen, derart,
dass $f = f' + i f''$ ist,
\[\begin{alignedat}{2}
&f_1   &&= b b_0 + c c_0 + \sqrt{D D_0} \\
&f'    &&= -R (a b_0 + b c_0) \\
&f''   &&= J (a b_0 + b c_0) \\
&f_2   &&= a a_0 + b b_0 + \sqrt{D D_0},
\end{alignedat}\tag{1\textsubscript{a}}
\]
wo $R(\ )$ und $J(\ )$ den reellen Teil und bezw.\ den Koeffizienten
von $i$ des komplexen Argumentes bedeuten.

Vermöge der Substitutionen~$U$, die, wie schon erwähnt, den
$F$-Punkt einer Sehne nicht ändern, kann man immer erreichen,
dass die Koordinaten desselben den Bedingungen (8),~§~8 Genüge
leisten; das gibt zu den folgenden Ungleichungen Anlass:
\iffalse
\begin{multline}
c c_0 \geq a a_0; \quad
-R (a b_0 + b c_0) + J (a b_0 + b c_0) \geq 0; \\
-R (a b_0 + b c_0) - J (a b_0 + b c_0) \geq 0,
\tag{2}
\end{multline}
\fi
\[
c c_0 \geq a a_0; \
-R (a b_0 + b c_0) + J (a b_0 + b c_0) \geq 0; \
-R (a b_0 + b c_0) - J (a b_0 + b c_0) \geq 0,
\tag{2}\]
denen die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ der Form immer unterworfen werden
können.
%\File{070.png}

Nehmen wir an, dass die vorliegende Form $(a\,b\,c)$ selber den
Bedingungen (2) genüge, soll dann dieselbe noch nicht eine reduzierte
Form sein, so darf die Relation $f_2 - 2f' \geqq 0$, d.~i.
\[
B = \sqrt{ D D_0} + a a_0 + b b_0 + (a b_0 + a_0 b) + (b c_0 + b_0 c) \geqq 0 \tag{3}
\]
--- B bedeutet die Abkürzung für die linke Seite der Ungleichung ---
noch nicht erfüllt sein (vgl.\ (4) und (5), §12).

Unterwirft man nun die Form (a\,b\,c) der Transformation
\[
N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
wobei nach (3) § 15
\begin{align*}
a &\text{ in } a\\
b &\text{ in } a + b          \tag{$N$}\\
c &\text{ in } a + 2b + c
\end{align*}
übergehen, so ist das gleichbedeutend als wenn man die Sehne
$(a\,b\,c)$ und mit ihr den $F$-Punkt derselben, der zu N inversen
Transformation
\[
N^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
unterziehen würde (vgl.\ Satz § 15). Wie man sich sofort überzeugt,
ist die Substitution $N^{-1}$ hier gleichbedeutend mit der
Substitution $N$ § 12 und es folgt daher aus Satz 2, § 12, dass
die Operation (N) eine Annäherung des $F$-Punktes, und daher auch
der Sehne an das Oktaeder $T_0$ involviert.

Nun ist bekanntlich (Satz, § 16, indem man dort $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
annimmt)
\[
E_0 = a a_0 + 2b b_0 + c c_0
\]
derjenige Ausdruck, welcher die Entfernung der Sehne $(a\,b\,c)$ vom
Punkte $M_0$ bestimmt. Analog wird daher
\[
E_1 = a a_0 + 2 (a + b)(a_0 + b_0) + (a + 2b + c) (a_0 + 2b_0 + c_0)
\]
die Entfernung der transformierten Sehne (vgl.\ ($N$)) von $M_0$ charakterisieren.

Wenn wir die Formen $B$, $E_0$ und $E_1$ mit den gleichbenannten
in § 17 vergleichen, so sehen wir, dass sie mit jenen vollkommen
übereinstimmen. Die Diskussion im eben zitierten Paragraphen
hat nun folgendes ergeben.
%\File{071.png}

Solange
\[
B < 0
\]
ist, ist auch immer
\[
E_1 < E_0.
\]

Daraus folgt, solange die Ungleichung (3) nicht erfüllt ist,
reduziert immer die Operation $(N)$ die Entfernung der gegebenen
Sehne vom Mittelpunkt $M_0$.

Nun ist
\[
E_0 + B = \sqrt{ D D_0} + a a_0 + b b_0 + (a + b)(a_0 + b_0) + (b + c)(b_0 + c_0) > 0,
\]
also ist umsomehr auch
\[
E_0 + 2 \sqrt{D D_0} + B > 0.
\]
Aus der im letzten Paragraphen gewonnenen Ungleichung
\[
(E_0 + 2 \sqrt{ D D_0} + B)^2 \geqq (E_0 + 2 \sqrt{ D D_0})(E_1 + 2 \sqrt{ D D_0})
\]
die für ganz beliebige Werte von $a$, $b$ und $c$ gilt, folgt, dass, wenn
$B < 0$ ist, dass dann auch
\[
E_0 + 2 \sqrt{ D D_0} + B > E_1 + 2 \sqrt{ D D_0}
\]
ist und hieraus ergibt sich endlich
\[
\Delta E = E_0 - E_1 > |B|.        \tag{5}
\]

$\Delta E$ bedeutet die Differenz der Entfernungen der ursprünglichen
Sehne und der, bei der Transformation $(N)$ aus derselben
entspringenden Sehne vom Punkte $M_0$; oder also die Annäherung
der betrachteten Sehne an $M_0$, die die Operation $N$ hervorbringt.

Da nun nach Voraussetzung (nämlich die Diskriminante der
gegebenen Form sei von Null verschieden) die Entfernung der
repräsentierenden Sehne der ursprünglich gegebenen Form von $M_0$
eine endliche war, und da ferner, wie man aus (5) ersieht, die
Operation $M$ solange $B < 0$ und dem Betrage nach endlich ist,
immer eine endliche Reduktion dieser Entfernung hervorbringt,
so muss nach endlich vielen Transformationen $N$ die Entfernung
einmal so klein werden, dass die Sehne wenigstens den $F$-Punkt
mit dem Fundamentaloktaeder $T_0$ gemein hat.

Wie bei den Hermiteschen Formen, wollen wir auch hier
zum Unterschied die Koeffizienten einer reduzierten Form mit
%\File{072.png}
grossen Lettern bezeichnen, also eine solche Form $(A\,B\,C)$ statt
$(a\,b\,c)$ schreiben.

Entsprechend dem Umstande, dass der $F$-Punkt der Sehne
nicht dem durch die Bedingungen ((4) und (5) \S 12) charakterisierten
Teile von $T_0$ anzugehören braucht, sondern beliebig in $T_0$
gelegen sein kann, lassen sich die Bedingungen (2) und (3) oben
erweitern, so dass die Ungleichungen (2) ganz zum Wegfalle
kommen und durch andere ersetzt werden. Man erhält das umfassendere
System von Bedingungen, wenn man nicht nur die Form
$(a\,b\,c)$, sondern jede Form $(a\,b\,c) U$ denselben Forderungen (2) und
(3) unterwirft, wo U jede der Transformationen der Gruppe ($\bar{U}$)
bedeuten soll.

Zufolge (2) § 8 und (3) § 15 ist
\[\tag{6}\begin{aligned}
(a\,b\,c) U_1 &= (a, -i b, -c)\\
(a\,b\,c) U_2 &= (c, b, a)
\end{aligned}\]
und daher

\[\tag{7}\begin{aligned}
(a b_0 + b c_0) U_1 = i (a b_0 + b c_0)\\
(a b_0 + b c_0) U_2 = (a_0 b + b_0 c),
\end{aligned}\]
woraus man allgemein $U (a\,b\,c)$ und $U (a b_0 + b c_0)$ entnehmen kann
(vgl.\ 3 § 8).

Indem man nun zu (3) diejenigen Bedingungen hinzu nimmt,
die aus ihr hervorgehen, wenn man an Stelle von $a,\, b,\, c,\, U (a\,b\,c)$
setzt, erhält man das folgende erweiterte System von Ungleichungen,
denen die Koeffizienten der reduzierten Form $(A\,B\,C)$ zu genügen
haben:
\[\tag{8}\begin{alignedat}{2}
\sqrt{D D_0} &+ A A_0 + B B_0 + 2|R   &&(A B_0 + B C_0)| \geqq 0 \\
\sqrt{D D_0} &+ A A_0 + B B_0 + 2|R i &&(A B_0 + B C_0)| \geqq 0 \\
\sqrt{D D_0} &+ B B_0 + C C_0 + 2|R   &&(A B_0 + B C_0)| \geqq 0 \\
\sqrt{D D_0} &+ B B_0 + C C_0 + 2|R i &&(A B_0 + B C_0)| \geqq 0
\end{alignedat}\]

Es sei noch bemerkt, dass die Bedingungen (8) zwar hinreichend
sind dafür, dass die Form $(A\,B\,C)$ eine reduzierte ist,
sie sind aber durchaus nicht notwendig, denn es kann auch Sehnen
geben, deren $F$-Punkt nicht dem Fundamentaloktaeder $T_0$ angehört
und die doch einen Punkt mit $T_0$ gemein haben. Von den Bedingungen
(8) aber wissen wir, dass sie für jede gegebene Dirichletsche
%\File{073.png}
Form (deren Diskriminante nicht $=$ 0 ist) durch endlich viele
Operationen erzielt werden können.

Es würde nicht schwer fallen, bei Betrachtung der Diagonalebenen
von $T_0$ die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
für eine reduzierte Form aufzustellen, doch werden wir davon
keinen Gebrauch machen.

\Section{§ 19.}{Algorithmus der Reduktion der Dirichletschen Form.}

Ist $(a\,b\,c)$ die zu reduzierende Form, so bilden wir zuerst
\[
a a_0,\ c c_0\text{ und }f = -(a b_0 + b c_0)
\]
und sehen zu, ob die Bedingungen (2) § 18, d.~i.
\[
c c_0 \geqq a a_0;\quad  R(f) + J(f) \geqq 0;\quad  R(f) - J(f) > 0  \tag{1}
\]
erfüllt sind. Sind sie nicht erfüllt, so erreicht man zuerst etwa
durch die Transformation $U_2$, dass die erste der Bedingungen (1)
befriedigt ist, und dann durch $U_1^r$, dass auch noch die beiden andern
Ungleichungen erfüllt sind.

Aus rein praktischen Gründen wollen wir hier die aus (6) und
(7) § 18 abgeleiteten Tabellen, die $(a\,b\,c) U$ und $(f) U$ ergeben, für
jede der acht Transformationen der Gruppe $(\bar{U})$, vollständig notieren.
Ein Blick auf dieselben wird, bei der Durchführung der Reduktion,
genügen, um erkennen zu lassen, welche der Transformationen $U$
die Form $(a\,b\,c)$ in diejenige Form überführt, deren Koeffizienten
die Bedingungen (1) befriedigen.
\[\tag{2}\begin{alignedat}{4}
&(a\,b\,c) U_1^0 &&= (a,b,c)             &&(a\,b\,c) \phantom{U}U_2 &&= (c,b,a)\\
&(a\,b\,c) U_1   &&= (a, -ib, -c) \quad  &&(a\,b\,c) U_2 U_1        &&= (c,-ib,-a)\\
&(a\,b\,c) U_1^2 &&= (a, -b, c)          &&(a\,b\,c) U_2 U_1^2      &&= (c,-b,a)\\
&(a\,b\,c) U_1^3 &&= (a, ib, -c)         &&(a\,b\,c) U_2 U_1^3      &&= (c,ib,-a)
\end{alignedat}\]

\[\tag{3}\begin{alignedat}{4}
&(f) U_1^0 &&= f                     &&(f) \phantom{U}U_2 &&= f_0\\
&(f) U_1   &&= i·f                   &&(f) U_2 U_1        &&= i f_0\\
&(f) U_1^2 &&= -f                    &&(f) U_2 U_1^2      &&= -f_0\\
&(f) U_1^3 &&= -i f     \qquad\qquad &&(f) U_2 U_1^3      &&= -i f_0.
\end{alignedat}\]
%\File{074.png}

Ist dann $(a\, \bar{b}\, \bar{c})$ die aus Tabelle (3) erhaltene Form, deren
Koeffizienten den Ungleichungen (1) Genüge leisten, und ist $\bar{f}$ der
bezügliche Wert von $f$, so bestimmt man noch
\[
B = \sqrt{D D_0} + \bar{a} \bar{a_0} + \bar{b} \bar{b_0} - 2 R(\bar{f}),     \tag{4}
\]
wo $\sqrt{D D_0}$ eine zum voraus gegebene positive Konstante ist.

Wenn nun $B \geqq 0$ ist, so ist die Form bereits reduziert.

Ist aber $B < 0$, dann setzen wir an Stelle
\begin{align*}
\text{von }\bar{a} &\quad \bar{a}\\
\bar{b} &\quad \bar{a} + \bar{b}            \tag{5}\\
\bar{c} &\quad \bar{a} + 2 \bar{b} + \bar{c} \text{ (vgl.\ $(N)$ § 18),}
\end{align*}
und kommen so auf eine neue Form, die wir ganz in derselben
Weise behandeln, wie wir es eben mit $(a\,b\,c)$ getan haben. Dies
muss solange wiederholt werden, bis endlich der Fall eintritt $B \geqq 0$.

Sei $(A\,B\,C)$ diejenige reduzierte Form, auf die wir bei dem
oben besprochenen Verfahren schliesslich geführt werden (deren
Koeffizienten also auch den Ungleichungen (1) genügen), dann hat
die reduzierende Substitution $R$, die die gegebene Form in $(A\,B\,C)$
überführt, der Hauptsache nach dieselbe Gestalt wie $R$ in (4) § 14;
nur hat man die Bemerkung am Schluss von § 15 zu berücksichtigen.
Die nämliche Erörterung, die wir in § 14 an die Determinante
$|R|$ anknüpften, gilt auch hier.

Ist $|R| = ±1$, so ist $(A\,B\,C)$ eine zur ursprünglich gegebenen
Form aequivalente reduzierte Form, im Sinne der Picardschen
Gruppe $\Gamma$.

Ist aber $|R| = ±i$, so ist erst $(A\,B\,C) U_1$ zur Ausgangsform
aequivalent durch die Gruppe $\Gamma$.

Zur Erläuterung der nachstehenden Tabelle, in welcher die
Reduktion der Form
\[
(215 + 312 · i) u^2 + 2 (-159 + 501 · i) u · v + (-684 + 252 · i) v^2
\]
durchgeführt ist, sei noch folgendes bemerkt. Unter der Rubrik $U$
sind diejenigen $U$-Substitutionen verzeichnet, die die links stehende
Form in die oben $(a \, \bar{b} \, \bar{c})$ bezeichnete Form überführen, deren Koeffizienten
den Ungleichungen (1) genügen. Das Übrige ist aus der
vorangehenden Diskussion verständlich.

%\File{075.png}
\newpage
\label{tab65}
\so{Beispiel.}

\begin{center}Form $(215 + 312 · i,\ -159 + 501 · i,\ -684 + 252 · i)$.\end{center}
\[
D = -36 - 90 · i;\quad   \sqrt{D D_0} = 96 + \theta,\text{ wo }0 < \theta < 1.
\]
{\tiny
\[
\begin{array}{r@{}lr@{}lr@{}l|rrr@{}l|c|rr}
     &a           &       &b            &       &c            &  a a_0 &    c c_0 &    f = -&(a b_0 + b c_0)&   U      &   b b_0  &
     \begin{matrix} B = \sqrt{D D_0}  + \bar{a} \bar{a_0} \\ + \bar{b} \bar{b_0} - 2 R(\bar{f}) \end{matrix}\\
\hline
 215 &{}+ 312 · i &  -159 &{}+ 501 · i  &  -684 &{}+ 252 · i  & 143569 &  531360  & -357135 &{}+ 459939 · i &  U_1^3   &  276282  & -499931 \\
 215 &{}+ 312 · i &  -286 &{}+ 153 · i  & -103 &{}- 258 · i   & 143569 &   77173  &   23770 &{}+ 211674 · i &  U_2 U_1 &  105205  & -240874 \\
-103 &{}- 258 · i &    50 &{}+ 28 · i   &  -12 &{}+ 2 · i     &  77173 &     148  &   12918 &{}+ 10452 · i  &  U_2     &    3284  &  -22308 \\
 -12 &{}+ 2 · i   &    38 &{}+ 30 · i   &  -15 &{}- 200 · i   &    148 &   40225  &    6966 &{}- 7586 · i   &  U_1     &    2344  &  -12584 \\
 -12 &{}+ 2 · i   &    18 &{}- 36 · i   &   63 &{}+ 126 · i   &    148 &   19845  &    3690 &{}+ 4934 · i   &  U_1^3   &    1620  &   -8000 \\
 -12 &{}+ 2 · i   &    24 &{}+ 20 · i   &   -3 &{}- 88 · i    &    148 &    7753  &    2080 &{}- 2340 · i   &  U_1     &     976  &   -3460 \\
 -12 &{}+ 2 · i   &     8 &{}- 22 · i   &   31 &{}+ 42 · i    &    148 &    2725  &     816 &{}+ 1266 · i   &  U_1^3   &     548  &   -1740 \\
 -12 &{}+ 2 · i   &    10 &{}+ 10 · i   &    1 &{}- 24 · i    &    148 &     577  &     330 &{}- 390 · i    &  U_1     &     200  &    -336 \\
 -12 &{}+ 2 · i   &    -2 &{}- 8 · i    &    7 &{}+ 6 · i     &    148 &      85  &      54 &{}+ 144 · i    &  U_2 U_1    &   68  &     -39 \\
   7 &{}+ 6 · i   &    -1 &{}+ 8 · i    &    3 &{}+ 8 · i     &     85 &      73  &    -102 &{}+ 30 · i     &  U_2 U_1^2  &   65  &     +30
\end{array}
\]
}

\begin{center}Reduzierte Form $(3 + 8 · i,\ 1 - 8 · i,\ 7 + 6 · i)$.\end{center}
\[
R = U_1^3 N U_2 U_1 N U_2 \ldots N U_2 U_1^2 = \begin{pmatrix} -1 - 8 · i & 7 · i \\ 5 + 3 · i & -4 - 3 · i \end{pmatrix}.
\]
%\File{076.png}

Es sei hier noch folgende Tabelle angegeben, deren wir zur
Aufstellung der reduzierenden Transformation~$R$ bedürfen.
\[
\begin{aligned}
N     &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
&  U_2       &= \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\
U_1   &= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
&  U_2 U_1   &= \begin{pmatrix} 0 & i \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\
U_1^2 &= \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}
&  U_2 U_1^2 &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\
U_1^3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i  \end{pmatrix}
&  U_2 U_1^3 &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ i & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}\tag{5}
\]
\centerline{(hergeleitet aus (2)~§~8).}

Für unser Beispiel ist nun
\[
R = U_1^3 N U_2 U_1 N U_2 N U_1 N U_1^3 N U_1 N U_1^3 N U_1 N U_2 U_1 N U_2 U_1^2
= \begin{pmatrix} -1-8i & 7i \\ 5+3i & -4-3i \end{pmatrix}
\]
und man findet
\[
|R| = 1,
\]
wie auch aus dem Umstande folgt, dass die Summe der Exponenten
von $U_1$ gleich $12$ ist.

Es ist daher die Form
\[
(3 + 8i,\,  1 - 8i,\,  7 + 6i)
\]
eine zur Ausgangsform aequivalente reduzierte Form, im Sinne der
Gruppe~$\Gamma$.


\Section{§ 20.}
{Die Kette der reduzierten Formen.}


Wir fassen nun die Gesamtheit aller derjenigen Oktaeder~$T$
ins Auge, die wenigstens einen Punkt mit der repräsentierenden
Sehne der Form~$(a\, b\, c)$ gemein haben.

Sind $\zeta_1$ und~$\zeta_2$ die Endpunkte der Sehne, und denken wir uns
dieselbe in bestimmtem Sinne, etwa von $\zeta_1$ nach $\zeta_2$ durchlaufen,
so werden wir dabei auf eine unendliche Reihe von Punkten
\[
\dots\, P_{-2},\, P_{-1},\, P_0,\, P_1,\, P_2,\, \dots
\tag{1}
\]
geführt, die die Eigenschaft besitzen, dass in jedem derselben die
Sehne~$(a\, b\, c)$ aus einem Oktaeder heraus in ein neues übertritt.
%\File{077.png}
In der Reihe~(1) ist offenbar die Succession der Glieder eine eindeutig
bestimmte, währenddem die Wahl des Null-Index der
Natur nach willkürlich bleibt.

Betrachten wir ein beliebiges Segment der Sehne~$(a\, b\, c)$, das
zwischen zwei konsekutiven Punkten $P_\kappa$ und $P_{\kappa+1}$ der Reihe~(1)
liegt. Im allgemeinen wird dasselbe dem Innern eines der Oktaeder~$T$
angehören. Es sei
\[
\dots\, T_{i_{-2}},\, T_{i_{-1}},\, T_{i_0},\, T_{i_1},\, T_{i_2},\, \dots
\tag{2}
\]
die Gesamtheit dieser Oktaeder; und zwar in derjenigen Reihenfolge
aufnotiert, die der Reihe~(1) korrespondiert. Wir wollen
diese (2) Reihe von Oktaedern die \so{Basisreihe} heissen, inbezug
auf die später folgende Reihe~(3).

Es gilt der
\begin{Prop}{1. Satz:}
\glqq{}Die Basisreihe der Oktaeder ist hinsichtlich der Rangordnung
der Glieder für jede gegebene Form $(a\, b\, c)$ eindeutig
bestimmt. Dagegen ist die Wahl des Index~$i_0$ willkürlich;
wir wollen deshalb zwei solche Reihen~(2), von
denen die eine durch blosse Verschiebung der Indices aus
der andern hervorgeht, als identisch ansehen.\grqq{}
\end{Prop}

Es kann aber das Segment $P_\kappa P_{\kappa+1}$ der Sehne $(a\, b\, c)$ auch
in eine Seitenfläche eines Oktaeders~$T$ hineinfallen. Dieses Segment
gehört dann nicht nur diesem einen Oktaeder~$T$ an, sondern
mehreren. Wie aus Satz~3~§~9 und der Diskussion in §~10 folgt,
gehört dasselbe aber jedenfalls nur endlich vielen Oktaedern an.
Es ist daher möglich, dieselben in eine zuerst zwar willkürliche
Reihenfolge anzuordnen, die wir aber dann ein für allemal beibehalten
wollen. In dieser festen Anordnung denken wir sie eingeschoben
zwischen diejenigen beiden Glieder der Basisreihe~(2),
die die Segmente $P_{\kappa-1} P_\kappa$ und $P_{\kappa+1} P_{\kappa+2}$ enthalten. Und das
denken wir uns getan für alle Segmente $P_\kappa P_{\kappa+1}$, die die eben
besprochene Eigenschaft besitzen. Die so erhaltene neue Reihe
von Oktaedern wollen wir für den Augenblick erweiterte Basisreihe heissen.

Endlich fassen wir noch einen beliebigen Punkt~$P_\kappa$ der Reihe~(1)
ins Auge. Sei $T$ dasjenige Oktaeder, das mit der Sehne $(a\, b\, c)$
die Strecke~$P_{\kappa-1} P_\kappa$ gemein hat, bezw.\ wenn es deren mehrere
%\File{078.png}
gibt, das letzte in der erweiterten Basisreihe; und es sei ferner
$T'$ dasjenige, das mit der Sehne $(a\, b\, c)$ das Stück $P_\kappa P_{\kappa+1}$ gemeinschaftlich
besitzt, oder gegebenen Falls, das erste solche in der
erweiterten Basisreihe. Es kann nun sein, dass es auch noch
solche Oktaeder gibt, die nur gerade den Punkt~$P_\kappa$ mit der Sehne
$(a\, b\, c)$ gemein haben; jedenfalls aber gibt es (nach schon oben
zitiertem Satz) solcher nur endlich viele. Es ist daher auch in
diesem Falle möglich, dieselben in eine willkürliche, aber feste
Reihe einzufügen und dieselbe zwischen $T$ und~$T'$ in die erweiterte
Basisreihe einzuschieben. Das denken wir uns wiederum für alle
Punkte der Reihe~(1), die die eben diskutierte charakteristische
Eigenschaft besitzen, getan. Auf diese Weise lässt sich die Gesamtheit
aller Oktaeder~$T$, die mit der Sehne~$(a\, b\, c)$ wenigstens
einen Punkt gemein haben, in eine Reihe anordnen.
\[
\dots\, T_{-2},\, T_{-1},\, T,\, T_1,\, T_2\, \dots
\tag{3}
\]
sei diese Reihe, wir wollen sie bezeichnen als eine zur gegebenen
Form $(a\, b\, c)$ gehörende Kette von Oktaedern und die Reihe~(2)
heisse die zur Reihe~(3) gehörende Basisreihe.

Man erkennt so die Richtigkeit des folgenden Satzes.
\begin{Prop}{2. Satz:}
\glqq{}Die zu einer Form~$(a\, b\, c)$ gehörende Kette~(3) von
Oktaedern besitzt die Eigenschaft, dass es in ihr eine Succession
von Gliedern gibt, nämlich die Kette~(2), die eindeutig
bestimmt ist. Zwischen die Glieder dieser engern
Reihe hinein drängen sich die noch übrigen Elemente der
Kette~(3) so, dass zwischen je zwei Glieder der ersteren
nur ganz bestimmte Elemente eintreten, deren Rangordnung
jedoch gewissen Willkürlichkeiten unterworfen bleibt.\grqq{}
\end{Prop}

Wir wollen diesen Satz noch durch die folgende Bestimmung
ergänzen.
\begin{Prop}{3. Satz:}
\glqq{}Zwei Ketten~(3) von Oktaedern, die zu ein und derselben
Form gehören, die daher dieselbe Basiskette~(2) besitzen
und die sich nur dadurch unterscheiden, dass die
zwischen die Glieder dieser letztern eingeschobenen Elemente
gegeneinander permutiert sind, wollen wir als nicht
wesentlich von einander verschieden ansehen, und zwar auch
dann nicht, wenn die Indices der Glieder der einen Reihe
um eine konstante ganze Zahl von denjenigen der korrespondierenden
Glieder der andern Reihe differieren.\grqq{}
\end{Prop}
%\File{079.png}

Nach diesen Festsetzungen übersieht man nun, dass die einer
gegebenen Form~$(a\, b\, c)$ angehörende Kette von Oktaedern~(3) eindeutig
bestimmt ist.

Jedem Oktaeder~$T_i$ der Reihe~(3) entspricht nun eine Substitution~$S$,
die $T_i$ in das Fundamentaloktaeder~$T_0$ überführt.
(Eigentlich sind es deren vier; nämlich alle Substitutionen $U S$,
wo $U$ jede Transformation der Gruppe~$(U)$ bedeuten kann; wir
wollen solche vier Transformationen als eine einzige ansehen.)

Sei nun
\[
\dots\, S'_{-2},\, S'_{-1},\, S'{_0},\, S'_1,\, S'_2,\, \dots
\]
die der Reihe~(3) entsprechende Reihe von Substitutionen, so dass
$S'_i$ $T_i$ in $T_0$ überführt. Zufolge des Satzes §~15 transformieren
die zu den obenstehenden inversen Transformationen die gegebene
Form je in eine aequivalente reduzierte Form. Es sei
\[
\dots\, S_{-2},\, S_{-1},\, S_0,\, S_1,\, S_2,\, \dots
\tag{4}
\]
die Reihe dieser Substitutionen und zwar so, dass $S_i = (S'_i)^{-1}$ ist
für jeden Index~$i$. Ferner sei
\[
\dots\, \phi_{-2},\, \phi_{-1},\, \phi_0,\, \phi_1,\, \phi_2,\, \dots
\tag{5}
\]
die Kette der reduzierten Formen und zwar soll für jeden Index~$i$
$\phi_i = (a\, b\, c) S_i$ sein.

\Definition. Die Formenreihe~(5) wollen wir die zu der gegebenen
Form~$(a\, b\, c)$ gehörende Kette von reduzierten Formen
heissen. Sie ist eindeutig bestimmt, wenn man dieselben Willkürlichkeiten,
die der Reihe~(3) anhaften, auf sie übernimmt.

Es soll nun die Richtigkeit des folgenden Satzes bewiesen
werden.\footnote
  {Die hier folgende Diskussion, wie auch diejenige in §~21, ist entnommen
  aus der in §~1 zitierten Abhandlung von Herrn Hurwitz. Vgl.\ daselbst §§~7
  und~8.}
\begin{Prop}{4. Satz:}
\glqq{}Zwei Dirichletsche Formen $f$ und~$f'$ sind stets und
nur dann aequivalent, wenn zu der einen Form dieselbe
Kette von reduzierten Formen gehört, wie zu der andern
Form.\grqq{}
\end{Prop}
%\File{080.png}

Gehe f über durch die Substitution $S$ in die Form $f$', also dass
\[
f' = f S        \tag{6}
\]
ist, und seien ferner (3), (4) und (5) die zu der Form $f$,
\begin{alignat}{5}
&\dotsc T'_{-2}, &&T'_{-1}, &&T',   &&T'_1, &&T'_2,\dotsc    \tag{7}\\
&\dotsc S'_{-2,} &&S'_{-1}, &&S'_0, &&S'_1, &&S'_2,\dotsc    \tag{8}\\
\intertext{und}
&\dotsc \phi'_{-2},\ &&\phi'_{-1},\ &&\phi'_0,\ &&\phi'_1,\ &&\phi'_2,\dotsc     \tag{9}
\end{alignat}
die zu der Form $f'$ gehörenden Ketten von Oktaedern, reduzierenden
Substitutionen und reduzierten Formen. Nun geht durch
die Transformation $S^{-1}$ die Sehne der Form $f$ über in diejenige
der Form $f'$ und damit zugleich die Reihe (3) in die Reihe (7).
Nehmen wir an, dass etwa $T$ nach $T'_n$ übergeführt werde, die
Reihe (7) kann dann so vorausgesetzt werden, dass auch $T_1$ in $T'_{n+1}$,
$T_2$ in $T'_{n+2}$ u.~s.~w., allgemein
\[
T_i\text{ in }T'_{n+i}\text{ für jedes }i
\]
übergeht; wir wollen fernerhin an dieser letzten Voraussetzung
festhalten. Die Transformation $S^{-1}_1 S$ führt das Oktaeder $T'_{n+i}$
über in das Fundamentaloktaeder $T_0$, man schliesst daraus, dass
\[\tag{10}\begin{gathered}
(S'_{n+i})^{-1} = S^{-1}_i S,\text{ also }S'_{n+i} = S^{-1} S_i \\
\text{und ferner }S = S_i (S'_{n+i})^{-1}
\end{gathered}\]
sein wird. Da durch die Substitution $S'_{n+i} f'$ übergeht in $\phi'_{n+i}$,
so folgt (aus (5), (6) und (10))
\begin{gather*}
\phi'_{n+i} = f' S'_{n+i} = f' S^{-1} S_i = f S_i = \phi_i \\
\text{für jeden Index }i
\end{gather*}
woraus der Satz abgeleitet wird.

\begin{Prop}
{5. Satz:} \glqq{}Geht die Form $f$ durch die Transformation $S$ in die
Form $f'$ über und sind (5) und (9) die zu $f$ und $f'$ gehörenden
Ketten von reduzierten Formen, sowie (4) und (8)
die beiden korrespondierenden Reihen von reduzierenden
Substitutionen, so ist für jeden Index $i$
%\File{081.png}
\[
\phi'_{n+i} = \phi_i \text{ und } S = S_i (S'_{n+i})^{-1},
\]
wo $n$ eine feste ganze Zahl bedeutet.\grqq{}
\end{Prop}

Die Zahl $n$ ist nach Festlegung der Nullindices in den Reihen
(4) und~(8) eindeutig bestimmt, wie man aus dem folgenden Ansatz
sofort erkennt
\[
S = S_i (S'_{n+i})^{-1} = S_i (S'_{m+i})^{-1}.
\]

Hieraus folgt nämlich
\[
S'_{n+i} = S'_{m+i},
\]
und da die Oktaeder einer Kette jedenfalls alle von einander verschieden
sind und mit ihnen auch die bezüglichen Transformationen,
so kann die obige Gleichung nur bestehen, wenn $n = m$ ist.

Seien nun $f$ und~$f'$ zwei Dirichletsche Formen, (5) die Kette
der zu $f$, (9) diejenige der zu $f'$ aequivalenten reduzierten Formen
und besitzen $f$ und~$f'$ die Eigenschaft, dass die Ketten (5) und~(9)
irgend ein Glied gemein haben, etwa
\[
\phi_0 = \phi'_n
\]
so folgt aus
\begin{gather*}
f S_0 = \phi_0, \quad  f' S'_n = \phi'_n\\
f S_0 = f' S'_n,
\end{gather*}
daher ist
\[
S = S_0 (S'_n)^{-1}
\]
eine Transformation, die $f$ in~$f'$ übergehen lässt. $f$ und~$f'$ sind
daher einander aequivalent und aus Satz~5 ergibt sich
\begin{Prop}{6. Satz:}
\glqq{}Wenn die zu zwei Formen $f$ und~$f'$ gehörenden Ketten
(5) und~(9) von reduzierten Formen irgend ein Glied gemein
haben, z.~B.\ $\phi'_n = \phi_0$, so geht die Form~$f$ durch die Substitution
$S = S_0 (S'_n)^{-1}$ in die Form $f'$ über und es ist dann
für jeden Index~$i$
\[
\phi_i = \phi'_{n+i};  \quad  S = S_i (S'_{n+i})^{-1}
\]
erfüllt.\grqq{}
\end{Prop}

Satz~4 ist Schlussfolgerung aus den Sätzen 5 und~6.
%\File{082.png}


\Section{§ 21.}
{Transformation einer Dirichletschen Form in sich.}


Die Sätze 5 und~6 aus dem vorangehenden Paragraphen wollen
wir nun anwenden auf den Fall, dass die Form~$f'$ mit der Form~$f$
identisch ist. Die Reihen (4) und~(8) und ebenso (5) und~(9) in
§~20 stimmen dann mit einander überein, und es bedeutet $S$ eine
von der identischen verschiedene Transformation, die die Form in
sich selber überführt. Wir finden daraus das folgende Verfahren
zur Bestimmung derjenigen Transformationen, die eine gegebene
Form in sich selber übergehen lassen.

Sei $\phi_0$ eine bestimmte Form der Reihe~(5), es muss dann in
derselben Reihe noch weitere Formen geben, die mit $\phi_0$ identisch
sind. Ist $\phi_n$ eine solche Form, so wird $S = S_0 S_n^{-1}$ eine der gesuchten
Transformationen, und es ist dann auch für jeden Index~$i$
$S_{n+i}$ identisch mit $S_i$. Bedeutet $|n|$ den numerischen Wert von $n$,
dann wird die Kette~(5) nichts anderes als die periodische Wiederholung
der $|n|$-gliedrigen Reihe
\[
\phi_0,\, \phi_1,\, \phi_2,\, \dots,\, \phi_{|n|}.
\]

Man folgert hieraus
\begin{Prop}{1. Satz:}
\glqq{}Die Form~$f$ besitzt dann und nur dann von der identischen
verschiedene Transformationen in sich, wenn in der
zu $f$ gehörenden Kette von reduzierten Formen ein und dieselbe
Form wiederholt auftritt. Ist dann in der Reihe $\phi_0,\,
\phi_1,\, \phi_2,\, \dots,\, \phi_m,\, \phi_{m+1},\, \dots\, \phi_m$ die erste Form, die mit $\phi_0$
sich deckt, dann besteht die betreffende Kette aus der periodischen
Wiederholung der $m$-Formen
\[
\phi_0,\, \phi_1,\, \phi_2,\, \dots,\, \phi_{m-1}.
\]

Die Transformation $S = S_0 S_m^{-1}$ führt die Form in sich
über, und jede andere Transformation, die dasselbe leistet,
ist eine Potenz von~$S$.\grqq{}
\end{Prop}

Zum Schlusse wollen wir noch zeigen, dass es wirklich solche
Transformationen einer Dirichletschen Form~$(a\, b\, c)$ in sich geben muss,
wenn die Koeffizienten derselben ganze komplexe Zahlen sind.
%\File{083.png}

Ist $(a\, b\, c)$ eine solche Form und sind $\zeta_1$ und~$\zeta_2$ die Wurzeln der
Gleichung
\[
a \zeta^2 + 2 b \zeta + c = 0,
\]
also zugleich auch die Endpunkte der Sehne~$(a\, b\, c)$, so kann man
mit Hülfe der Transformationen~$U$ immer erreichen, dass wenigstens
einer der Punkte $\zeta_1$ und~$\zeta_2$ auf der obern Hälfte der Kugel~$\frakK$
liegt. Zu jeder reduzierten Form gibt es eine aequivalente reduzierte
\pngrightl{007.png}{255}{8}{-24}
Form, die dieser Forderung genügt; nehmen wir an, dass
$(a\, b\, c)$ selber diese Bedingung erfülle. Wir denken uns jetzt die
bezügliche Sehne projiziert vom Punkte $\infty$ aus auf die
$\xi\,\eta$-Ebene des ursprünglichen Koordinatensystems. Wir betrachten nun diese
Projektion. Der eine der beiden Endpunkte
$\zeta_1$ und~$\zeta_2$ der projizierten Sehne
liegt nach Voraussetzung ausserhalb des
Kreises $\xi^2 + \eta^2 = 1$. Soll die Form $(a\, b\, c)$
eine reduzierte sein, so muss die geradlinige
Strecke $(\zeta_1 \zeta_2)$ wenigstens einen Punkt
gemein haben mit der Projektion des
Fundamentaloktaeders $T_0$ vom Punkte $\infty$
aus auf die $\xi\,\eta$-Ebene, d.~h.\ mit dem in obenstehender Figur
schraffierten Quadrat. Bezeichnet nun $s$ die gewöhnliche Entfernung
$(\zeta_1, \zeta_2)$ und ebenso $t$ die gewöhnliche Entfernung $(O, M)$, wo
$O$ Anfangspunkt ist des Koordinatensystems $\xi\,\eta$, und wo $M$ denjenigen
Punkt der Sehne $(\zeta_1 \zeta_2)$ andeuten soll, der in der Mitte
zwischen jenen beiden Punkten liegt, dann erkennt man die folgenden
notwendigen Bedingungen dafür, dass die Form $(a\, b\, c)$ eine
reduzierte ist; es muss
\[
(a) \quad  s > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad
(b) \quad  \frac{s}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} > t
\]
sein. Die $\xi$- und $\eta$-Koordinaten der Punkte $\zeta_1$, $\zeta_2$ und $M$ sind nun
die folgenden:
\begin{align*}
\zeta_1: \quad \frac{1}{2} (\zeta_1 + \zeta_{1_0}) &= \frac{-(a b_0 + a_0 b) + (a \sqrt{D_0} + a_0 \sqrt{D})}{2 a a_0},\\
\frac{1}{2i} (\zeta_1 - \zeta_{1_0}) &= \frac{-i(a b_0 - a_0 b) + i(a \sqrt{D_0} - a_0 \sqrt{D})}{2 a a_0};\\
%\File{084.png}
\zeta_2: \quad \frac{1}{2} (\zeta_2 + \zeta_{2_0}) &= \frac{-(a b_0 + a_0 b) - (a \sqrt{D_0} + a_0 \sqrt{D})}{2 a a_0},\\
\frac{1}{2i} (\zeta_2 - \zeta_{2_0}) &= \frac{-i(a b_0 - a_0 b) - i(a \sqrt{D_0} - a_0 \sqrt{D})}{2 a a_0};
\end{align*}\[
M: \quad \frac{-(a b_0 + a_0 b)}{2 a a_0}; \quad
\frac{-i(a b_0 - a_0 b)}{2 a a_0}.
\]

Hieraus findet man
\[
s^2 = \Big(\frac{a \sqrt{D_0} + a_0 \sqrt{D}}{a a_0}\Big)^2
  + \Big(i \frac{a \sqrt{D_0} - a_0 \sqrt{D}}{a a_0}\Big)^2
  = 4 \frac{\sqrt{D D_0}}{a a_0}
\]
\[
t^2 = \Big(\frac{a b_0 + a_0 b}{2 a a_0}\Big)^2
  + \Big(i \frac{a b_0 - a_0 b}{2 a a_0}\Big)^2
  = \frac{b b_0}{a a_0}.
\]

Indem man diese Werte in ($a$) und~($b$) substituiert und wenig
umrechnet, findet man die folgenden Ungleichungen, denen die
Koeffizienten $a, b, c$ einer reduzierten Form notwendig zu genügen
haben,
\begin{alignat*}{3}
&(a')\quad &&\sqrt{a a_0} &&< \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \sqrt[4]{D D_0}\\
&(b') &&\sqrt{b b_0} &&< \sqrt{\frac{a a_0}{2}} + \sqrt[4]{D D_0}.\footnotemark
\end{alignat*}
\footnotetext
  {Die Ungleichungen ($a$) und~($b$) decken sich im wesentlichen mit denjenigen,
  die Fricke und Klein aufgestellt haben; vgl.\ Aut.~I, p.~460 u.~461.}

Da nun $a a_0$ und $b b_0$ positive ganze rationale Zahlen sind und
da $D D_0$ eine positive Konstante ist, so folgt aus der ersten Ungleichung,
dass es nur endlich viele Werte von $a$ geben kann, und
auf Grund dieses Umstandes folgt dann weiter aus der Ungleichung~($b'$),
dass es auch nur eine endliche Anzahl von Lösungen gibt für den
Koeffizienten~$b$. Da endlich zu jeder Annahme von $a$ und~$b$ der
Koeffizient~$c$ schon bestimmt ist, so gibt es (bei gegebener Diskriminante~$D$)
nur eine endliche Zahl von Systemen $(a\, b\, c)$, die die
Ungleichungen ($a$) und~($b$) befriedigen, und mithin gibt es auch
nur endlich viele reduzierte Formen, was wir zu zeigen beabsichtigt
haben.
%\File{085.png}
\Section{§ 22.}{Das Oktaeder $O$.}

Wir wollen in diesem Paragraphen dasjenige Oktaeder betrachten,
das bestimmt ist durch die Punkte $(\infty, 0, 1, i, -1, -i)$
der Kugel $\frakK$, als Ecken desselben; wir wollen es kurz $O$ benennen.
Es soll gezeigt werden, dass dasselbe in engem Zusammenhange
steht mit dem Fundamentaloktaeder $T_0$; sodann soll die Gesamtheit
derjenigen Transformationen der Gruppe $\Gamma$ aufgesucht werden,
die die Eigenschaft besitzen, einen Punkt $P$ von $O$ in einen andern
Punkt $P'$, der auch $O$ angehört, überzuführen; und endlich soll
noch nachgewiesen werden, dass die Punkte von $O$ durch eine
ähnliche Invariantenbedingung charakterisiert sind, wie die Punkte
von $T_0$.

Seien $(a\, b_1\, b_2\, c)$ die homogenen Koordinaten eines Punktes $P$.
An Hand der Formeln (1) und (2) und der Bemerkung 1 § 2
findet man die folgenden Bedingungen dafür, dass der Punkt $P$
dem Innern, bezw.\ der Begrenzung von $O$ angehört. Es muss
\[\tag{1}\begin{alignedat}{2}
 b_1 + b_2 - c &\leqq 0       &  b_1 + b_2 - a &\leqq 0     \\
-b_1 + b_2 - c &\leqq 0\qquad & -b_1 + b_2 - a &\leqq 0\\
-b_1 - b_2 - c &\leqq 0       & -b_1 + b_2 - a &\leqq 0\\
 b_1 - b_2 - c &\leqq 0       &  b_1 + b_2 - a &\leqq 0
\end{alignedat}\]
sein. --- Durch die Ungleichungen
\[
b_1 + b_2 \geqq 0;\ b_1 - b_2 \geqq 0;\ a - 2b_1 \geqq 0;\ c - 2b_1 \geqq 0   \tag{2}
\]
ist ein gewisses Tetraeder, wir wollen es mit $\Delta_0$ bezeichnen,
charakterisiert. Es ist dasselbe dasjenige Viertel des Fundamentaloktaeders
$T_0$, das von den durch $\sigma_0$ hindurchgehenden Diagonalebenen
desselben herausgeschnitten wird und das dem Punkte 1
der Kugel zugewendet liegt.

$\Delta_0$ geht bei der Transformation $U_2$ in sich über (vgl.\ (4) § 8),
bei der Transformation $U^{(r)}_1$ ($r = 0$, 1, 2, 3) geht $\Delta_0$ in ein neues
Tetraeder $\Delta_r$ über, so dass die vier Tetraeder $\Delta_0\, \Delta_1\, \Delta_2\, \Delta_3$ zusammen
das Oktaeder $T_0$ einfach und lückenlos ausfüllen.
%\File{086.png}

Wir wollen nun unter $\Delta'$ dasjenige Tetraeder verstehen, das
entsteht, wenn wir $\Delta_0$ der Transformation
\[
N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
unterwerfen. Sind $(a'\, b'_1\, b'_2\, c')$ die Koordinaten des aus $(a\, b_1\, b_2\, c)$
durch die Substitution~$N$ entspringenden Punktes, so berechnet man
mit Hülfe von (3)~§~6
\[\begin{alignedat}{4}
\alpha)\quad
 &a'   &&= a - 2b_1 + c  \text{ \ oder \ }\beta)\quad
                   && a   &&= a' + 2b'_1 + c'  \\
 &b'_1 &&= b_1 - c && b_1 &&= b'_1 + c' \\
 &b'_2 &&= b_2     && b_2 &&= b'_2 \\
 &c'   &&= c       && c   &&= c',
\end{alignedat}\tag{3}
\]
und es werden daher die Bedingungen, denen die Punkte von $\Delta'$
zu genügen haben, die Folgenden (indem man die Ausdrücke (3 $\beta$)
in~(2) substituiert und die Akzente weglässt):
\[\begin{aligned}
-b_1 - b_2 - c &\leq 0  &  c - a &\leq 0  \\
-b_1 + b_2 - c &\leq 0  \qquad &  2b_1 + c &\leq 0.
\end{aligned} \tag{4}
\]

Indem man die aus~(4) sich ergebenden Begrenzungsebenen
von $\Delta'$ näher betrachtet und mit~(1) vergleicht, erkennt man die
Richtigkeit der folgenden Behauptung.

Das Tetraeder~$\Delta'$ fällt in seiner ganzen Ausdehnung zusammen
mit demjenigen Tetraeder, das bestimmt ist durch den Kugelpunkt
$(-1)$ als Ecke und derjenigen Seitenfläche von $T_0$ die in
der Ebene $c + 2b_1 = 0$ liegt als gegenüberliegende Seite. Es
bildet dasselbe ein Stück der Ergänzung des Oktaeders $T_0$ zum
Oktaeder~$O$. --- Durch die Transformation~$U$ geht $\Delta'$ über in
aequivalente Tetraeder $\Delta'',\, \Delta''',\, \dots$ die sich an die andern Seitenflächen
von $T_0$ anlegen und von denen je eine Ecke in einen der
vier Punkte $(± 1, ±i)$ der Kugel hineinfällt. Bestimmt man
analog wie für $\Delta'$ die Begrenzungsebenen für $\Delta'',\, \Delta'''\, \dots$, so
sieht man schliesslich die Richtigkeit des folgenden Satzes ein.

\glqq{}Die Tetraeder $\Delta',\, \Delta'',\, \dots$ zusammen mit $\Delta_0$ bis $\Delta_3$ erfüllen
das Oktaeder $O$ einfach und lückenlos.\grqq{}

Aus den vorausgehenden Darlegungen erkennt man ferner:
Ist $P$ ein Punkt von $O$, so können wir zu ihm immer wenigstens
%\File{087.png}
einen, im allgemeinen zwei aequivalente Punkte $P_0$ und~$P'_0$ finden,
die $\Delta_0$ angehören.

Man überzeugt sich durch einfache Rechnung, dass die Transformationen
der Gruppe~$(\bar{U})$ $O$ in sich überführen.

Es soll nun die Gesamtheit~$(V)$ derjenigen Transformationen~$V$
der Gruppe~$(\Gamma)$ bestimmt werden, die einen Punkt $P$ von $O$ in
einen neuen Punkt $P'$ von $O$ überführen und die nicht zugleich
in der Gruppe~$(U)$ vorkommen.

Bedeuten $U$ und~$U'$ zwei beliebige Transformationen der
Gruppe $(\bar{U})$, dann kann man jeder der gesuchten Substitutionen~$V$
die Gestalt geben
\[
V = U N U'
\tag{5}
\]
($N$, vgl.\ oben). In der Tat sei $S$ eine beliebige Transformation,
die den Punkt~$P$ in den Punkt~$P'$ überführt, die beide $O$ angehören,
so ist also
\[
P' = S P.
\]

Da $P$ und~$P'$ einander aequivalent sind, so gibt es in $\Delta_0$
einen Punkt~$P_0$, der beiden zugleich entspricht. Nach den Erörterungen
im ersten Abschnitt dieses Paragraphen muss es zwei
Substitutionen $V_1$ und~$V_2$ geben, so dass
\[
P = V_1 P_0,  \qquad  P' = V_2 P_0
\]
ist und zwar nehmen dieselben die Form an
\[
V_1 = U N^r  \qquad  V_2 = U' N^s
\]
wo $r$ und~$s$ gleich $0$ oder~$1$ sind.

Nun muss also
\[
U' N^s = S U N^r
\]
sein, woraus
\[
S = U' N^{s-r} U^{-1}
\]
folgt. Hier kann $s-r$ die Werte annehmen $1$, $0$ und $-1$; bemerken
wir noch, dass
\[
N^{-1} = U^2_1 N U^{-2}_1
\]
ist, wie durch elementare Rechnung sofort verifiziert werden kann,
so übersieht man, dass die rechte Seite der obigen Gleichung für $S$
%\File{088.png}
tatsächlich immer die Gestalt (5) annimmt, sofern sie nicht bloss
eine Substitution der Gruppe ($\bar{U}$) wird, was wir zeigen wollten.

Sei
\[
\begin{pmatrix} \delta_1 & \delta_2 \\ \delta_3 & \delta_4 \end{pmatrix} \tag{6}
\]
das Koeffizientensystem der Substitution $V$, es soll noch untersucht
werden, wie die $\delta_1 \dotsc \delta_4$
beschaffen sind.

Bezeichnen wir mit $\epsilon$, $\epsilon'$ und ebenso mit $\eta$ und $\eta'$ je irgend
eine der Zahlen $±1$, $±i$, dann nehmen bekanntlich die Substitutionen
$U$ die Formen an
\[
\begin{pmatrix} \epsilon & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ oder}
\begin{pmatrix} 0 & \eta \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\]
und ferner ist, nach Annahme
\[
N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

Gemäss (5) erhält daher $V$ eine der folgenden vier Gestalten
\[\tag{7}\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \epsilon & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \epsilon' & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix} \epsilon\epsilon' & \epsilon' \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} \epsilon & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & \eta' \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix} -\epsilon & \epsilon \eta' \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} 0 & \eta \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \epsilon' & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix} 0 & \eta \\ \epsilon' & -1 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} 0 & \eta \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & \eta' \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix} \eta & 0 \\ -1 & \eta' \end{pmatrix}\\
\end{aligned}\]
aus denen man ersieht, dass das System (6) den folgenden Bedingungen
Genüge leistet
\[\tag{8}\begin{aligned}
\delta_i &= 1\text{ für drei der Indices }i\\
\delta_i &= 0\text{ für den vierten Index.}
\end{aligned}\]
Diejenigen unter den Substitutionen $V$ für die $\delta_1 \delta_4 - \delta_2 \delta_3
= ±1$ ist, gehören der Picardschen Gruppe $\Gamma$ an, es sind das
im wesentlichen die folgenden acht
\begin{alignat*}{4}
&\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
&\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix}
\end{alignat*}
%\File{089.png}

Zum Schlusse soll noch die Invariantenbeziehung aufgestellt
werden, die die Punkte von $O$ charakterisiert.

Acht der Kanten von~$O$, nämlich diejenigen, die von den
Ecken $0$ und~$\infty$ ausgehen, sind Elementarsehnen. Wir wollen
dieselben, analog wie die ihnen zugehörenden Oktaeder, \so{Nachbarsehnen}
von $\sigma_0$ nennen.

Die Invariantenbedingung drückt sich dann in folgendem
Satze aus:

\glqq{}Ist der Punkt $P (a\, b_1\, b_2\, c)$ ein Punkt im Innern von $O$, so ist
seine Entfernung von der Fundamentalsehne~$\sigma_0$ kleiner oder doch
nicht grösser als seine Entfernung von jeder beliebigen andern
Elementarsehne, ausgenommen einer Nachbarsehne von $\sigma_0$.\grqq

Der Beweis ist der: Setzen wir wie in (2)~§~10
\[
b = \epsilon |b_1| + i \eta |b_2|;  \quad
a = A + |b_1| + |b_2| \quad\text{und}\quad
c = C + |b_1| + |b_2|,
\]
so folgt aus~(1), ist $P$ ein Punkt von~$O$, so ist
\[
A \text{ und } C \geq 0.
\]

Es soll $a (\lambda\,\mu)$ die Abkürzung sein für den folgenden Ausdruck
\[
A \mu \mu_0 + C \lambda \lambda_0 + |b_1| (\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0)
  + |b_2| (\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0);
\]
bedeuten ferner $a^*$ und~$A^*$ die grössere der beiden Zahlen $a$ und~$c$
bezw.\ $A$ und~$C$, so folgt aus Satz~4, §~9:

Damit der Punkt~$(a\, b_1\, b_2\, c)$ von der Sehne~$\sigma_0$ eine kleinere
oder doch nicht grössere Entfernung hat als von jeder andern
Elementarsehne~$\sigma$, muss
\[
\bar{a} (\gamma\, \mu) \geq a^*
\]
oder also
\[
A \mu \mu_0 + C \lambda \lambda_0 + |b_1| (\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0)
+ |b_2| (\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) \geq A^* + |b_1| + |b_2|
\tag{9}
\]
sein, für beliebige ganze komplexe Zahlen $\lambda$, $\mu$ ohne gemeinschaftlichen
Teiler, von denen diejenige nicht gleich Null sein darf, die
als Koeffizient von $A^*$ auf der linken Seite auftritt.

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Die Ungleichung (9) ist beständig erfüllt, wenn keiner der
Koeffizienten
\[
\mu,\ \lambda,\ \mu - \epsilon \lambda,\ \mu + i \eta \lambda
\]
verschwindet. Wird jedoch einer der Koeffizienten gleich Null,
so kann in der Tat der Fall eintreten, dass (9) nicht mehr erfüllt
ist, und zwar handelt es sich dabei nur um einen der Koeffizienten
\[
\mu - \epsilon \lambda,\ \mu + i \eta \lambda.
\]
Beide Fälle führen auf einen der Punkte $± 1$, $± i$, d.~h.\ in
letzter Linie auf eine Nachbarsehne von $\sigma_0$.

\Chapter{III.\ Die Picardsche Gruppe
aus dem Zahlkörper der dritten Einheitswurzel.}

\Section{§ 23.}{Aufstellung der Picardschen Gruppe $\Gamma_1$.}

Wir betrachten im dritten Abschnitt der vorliegenden Arbeit
die Gesamtheit derjenigen linearen Transformationen
\[
u' = \frac{\alpha u + \beta }{ \gamma u + \delta},   \tag{1}
\]
die die Eigenschaft haben, dass ihre Koeffizienten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ganze
Zahlen sind von der Form $u + \rho · v$, wo $\rho$ eine imaginäre dritte
Einheitswurzel bedeutet und die ausserdem der Bedingung genügen
\[
\alpha \delta - \beta \gamma = 1.         \tag{2}
\]

Der Terminologie von Fricke folgend, wollen wir die Gesamtheit
derselben die Picardsche Gruppe aus dem Zahlkörper der dritten
Einheitswurzel nennen und sie mit $\Gamma_1$ bezeichnen.\footnote{%
  Die in Abschnitt II besprochene Gruppe $\Gamma$ nennen wir, wie allgemein
  gebräuchlich, kurz Picardsche Gruppe; im Titel dieser Abhandlung ist sie der
  grössern Deutlichkeit wegen Picardsche Gruppe aus dem Zahlkörper der vierten
  Einheitswurzel benannt.
  }

%\File{091.png}
Es handelt sich nun darum, an die Gruppe $\Gamma_1$ dieselben Betrachtungen
anzuknüpfen, die wir im vorangehenden Abschnitt an
die Gruppe $\Gamma$ geknüpft haben. Die Untersuchungen werden jenen
dort vollkommen parallel verlaufen, so dass wir grossenteils nur
auf sie zu verweisen brauchen.

Es soll wiederum $S$ die abkürzende Bezeichnung sein sowohl
für das System
\[
\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
\]
als auch für die Transformationen (1), die wir daher auch
\[
u' = S u
\]
schreiben können. --- Da in $S$ nur das Verhältnis $\alpha : \beta : \gamma : \delta$ wesentlich
ist, so übersieht man, dass in $\Gamma_1$ auch diejenigen Transformationen
enthalten sind, für welche $|S| = \rho$ oder = $\rho^2$ ist. Indem
man nämlich in diesen Fällen $(\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta)$ ersetzt durch $(\rho · \alpha, \rho · \beta,
\rho · \gamma, \rho · \delta)$ bezw.\ $(\rho^2 · \alpha, \rho^2 · \beta, \rho^2 · \gamma, \rho^2 · \delta)$, ersieht man, dass dann
$|S| = 1$, d.~h.\ (2), erfüllt ist.

Bei gegebener Substitution $S$ sind $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ bis auf ihr Vorzeichen
bestimmt.

Auch hier ist es für die folgenden Untersuchungen oft von
Vorteil, wenn man sich nicht ganz auf die Gruppe $\Gamma_1$ beschränkt,
sondern wenn man zu diesen noch diejenigen Transformationen (1)
mit ganzzahligen Koeffizienten hinzu nimmt, deren Determinante
\[
|S| = \alpha \delta - \beta \gamma = -1
\]
ist. --- Diejenigen, für welche $|S| = -\rho$ oder = $-\rho^2$ ist, sind
darin inbegriffen, wie man sofort erkennt. --- Der leichteren Orientierung
wegen wollen wir die so erweiterte Gruppe mit $\bar{\Gamma_1}$ andeuten;
es ist wieder $\Gamma_1$ eine Untergruppe von $\bar{\Gamma_1}$ (analog wie in
Abschnitt II die Gruppe $\Gamma$ eine Untergruppe von $\bar{\Gamma_1}$ ist).

$S$ soll in Zukunft immer eine Substitution der Gruppe $\Gamma_1$ andeuten,
wogegen wir mit $T$ eine beliebige ganzzahlige Substitution
$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ bezeichnen wollen, so dass nur $|T| \neq 0$ sein soll.

Da bekanntlich die elementaren Rechnungsoperationen aus zwei
Zahlen $u + \rho v$ und $u' + \rho v'$ aus dem Zahlkörper der dritten Einheitswurzel
immer wieder eine Zahl aus demselben Körper entstehen
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lassen, und da ferner jede solche Zahl auch dem Körper
der komplexen Zahlen angehört, so folgt, dass die Entwicklungen
in § 6, insbesondere das Formelsystem (3) und die daran geknüpften
Erörterungen sich vollkommen auf die neue Gruppe von linearen
Transformationen übernehmen.

Seien $p$ und $q$ zwei ganze Zahlen aus dem Zahlkörper der
dritten Einheitswurzel, so wollen wir $u = \dfrac{p }{ q}$ als rationale Zahl
desselben bezeichnen. Besitzen $p$ und $q$ keinen gemeinschaftlichen
Teiler ausser den Einheitsfaktoren, so nennen wir $\dfrac{p }{ q}$ einen reduzierten
Bruch. $p$ und $q$ sind bei einem solchen bestimmt bis auf eine der
sechs Einheitszahlen, --- wir wollen eine solche mit e bezeichnen ---,
so dass $u = \dfrac{e p }{ e q}$ gesetzt werden kann.

Wenn wir fernerhin von einer rationalen Zahl $u = \dfrac{p }{ q}$ sprechen,
so soll immer $\dfrac{p }{ q}$ als reduzierter Bruch vorausgesetzt werden.

Man erkennt auch: durch eine Substitution $S$ (oder $T$) geht
eine rationale Zahl $u$ immer wieder in eine rationale Zahl $u'$ über.

Übergehend zur Interpretation an der Kugel $\frakK$ ordnen wir
zwei rationalen Punkten $u = \dfrac{p }{ q}$ und $v = \dfrac{r }{ s}$ die im Innern von $\frakK$
gelegene Verbindungssehne $\sigma = \begin{pmatrix} \dfrac{p}{q}, & \dfrac{r}{s}\end{pmatrix}$ zu und bezeichnen den Wert
der Determinante $p s - q r$ als Invariante der Sehne $\sigma$. Aus den
vorangehenden Erörterungen folgt, dass dieselbe nur bis auf einen
Einheitsfaktor bestimmt ist, und man sieht auch, dass sie ihr Vorzeichen
ändert, wenn die beiden Endpunkte der Sehne miteinander
vertauscht werden.

Ist die Invariante einer Sehne eine Einheit, so wollen wir die
Sehne wieder Elementarsehne heissen. Man kann die Parameter
$u$ und $v$ der Endpunkte einer Elementarsehne immer so wählen,
dass die Invariante derselben gleich 1 wird, und zwar lässt diese
Wahl immer noch sechs Möglichkeiten zu.

Ist $u = \dfrac{p }{ q}$, $v = \dfrac{r }{ s}$ die eine derselben, so ergeben sich die
andern aus dem Ansatz $u = \dfrac{e · p }{ e · q}$, $v = \dfrac{e^{-1} · r }{ e^{-1} · s}$.

$\sigma_0 = \begin{pmatrix} \dfrac{1 }{ 0}, & \dfrac{0 }{ 1} \end{pmatrix}$,  ist auch hier wieder eine Elementarsehne; sie
werde, wie im Falle der Gruppe $\Gamma$ Fundamentalsehne genannt.

Wie in § 7 überzeugt man sich von der Richtigkeit des folgenden
Satzes.
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\begin{Prop}{1. Satz:}
\glqq{}Geht durch eine Substitution~$S$ (die wir der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$
angehörend annehmen können) die Sehne $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ über in
die Sehne $\left(\dfrac{p'}{q'}, \dfrac{r'}{s'}\right)$, so haben beide Sehnen dieselbe Invariante,
insbesondere geht daher eine Elementarsehne immer
wieder in eine Elementarsehne über.\grqq{}
\end{Prop}

Zum Schlusse dieses Paragraphen wollen wir wieder alle Substitutionen
$T$ bezw.~$S$ aufsuchen, welche die beliebig angenommene
Elementarsehne $\sigma = \left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ aus der Fundamentalsehne $\sigma_0 = (0, \infty)$
hervorgehen lassen. Der Weg ist vollkommen derselbe wie in §~7.

Man findet
\begin{Prop}{2. Satz:}
\glqq{}Alle Substitutionen~$T$, welche die Sehne $(0, \infty)$ überführen
in die Sehne $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$, ergeben sich durch Zusammensetzung
der Transformation $\begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix}$ mit einer beliebigen Substitution
$U$, die eine der beiden typischen Gestalten
\[
u' = \frac{\alpha u}{\delta} \text{ und } u' = \frac{\beta}{\gamma · u}
\]
hat, wo $\alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta$ beliebige ganze Zahlen aus dem Zahlkörper
der dritten Einheitswurzel sind, von denen keine gleich
Null ist.\grqq{}
\end{Prop}

Wir wollen nun unter den Substitutionen~$U$ diejenigen herausgreifen,
die der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$ bezw.~$\Gamma_1$ angehören. Für diese ist
\begin{alignat*}{2}
\alpha \delta &= -1 &\text{ bezw. } &= 1  \text{ oder} \\
-\beta \gamma &= -1 &\text{\glqq{}}\quad  &= 1.
\end{alignat*}

Den sechs Einheiten
\[
± 1,  \quad ±\rho,  \quad ±\rho^2
\]
entsprechend erhält man die folgenden zwölf Substitutionen
\begin{alignat*}{6}
&\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} \rho^2 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} 0 & -\rho \\ \rho^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} 0 & -\rho^2 \\ \rho & 0 \end{pmatrix}\\
&\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} -\rho^2 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} -\rho & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} 0 & \rho \\ \rho^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad
&& \begin{pmatrix} 0 & \rho^2 \\ \rho & 0 \end{pmatrix},
\end{alignat*}
die alle der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$ angehören und von denen diejenigen der
obern Zeile in $\Gamma_1$ enthalten sind.

%\File{094.png}
Alle diese Substitutionen $U$ führen die Fundamentalsehne
$\sigma_0 = (0, \infty)$ in sich über und es sind dies auch die einzigen der
Gruppe $\bar{\Gamma_1}$ bezw.\ $\Gamma_1$
 zugehörenden, die dies leisten.

In analoger Weise wie in § 7 haben wir so eine Zuordnung
konstruiert zwischen Elementarsehne $\sigma$ und Transformation
$S = \begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix}$ der Gruppe $\Gamma_1$, (bezw.\ $\bar{\Gamma_1}$ ).

Wir lassen S die eindeutig bestimmte Elementarsehne $\sigma = \begin{pmatrix} \dfrac{p }{ q}, & \dfrac{r }{ s} \end{pmatrix}$
entsprechen. $\dfrac{p }{ q}$ und $\dfrac{r }{ s}$ sind die Endpunkte derselben. Da $p s - q r
= 1$ ist, so sind zugleich $\dfrac{p }{ q}$ und $\dfrac{r }{ s}$ reduzierte Brüche. Ist umgekehrt
die Elementarsehne $\sigma = \begin{pmatrix} \dfrac{p }{ q}, & \dfrac{r }{ s} \end{pmatrix}$ gegeben, so können wir
derselben die folgenden $S$-Substitutionen zuordnen
\[
\begin{pmatrix} e p & e^{-1} r \\ e q & e^{-1} s \end{pmatrix}
\text{ und }
\begin{pmatrix} -e r & e^{-1} p \\ -e s & e^{-1} q \end{pmatrix}
\]
Dies sind scheinbar zwölf, da aber nur das Verhältnis der
Koeffizienten in Betracht kommt, so reduziert sich die Anzahl
derselben auf die folgenden sechs
\begin{alignat*}{3}
&\begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} \rho p & \rho^2 r \\ \rho q & \rho^2 s \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} \rho^2 p & \rho r \\ \rho^2 q & \rho s \end{pmatrix} \\
&\begin{pmatrix} -r & p \\ -s & q \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} -\rho r & \rho^2 p  \\ -\rho s & \rho^2 q \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} -\rho^2 r & \rho p \\ -\rho^2 s & \rho q \end{pmatrix}.
\end{alignat*}

Es sind das diejenigen sechs Substitutionen der Gruppe $\Gamma_1$
die $\sigma_0$ in $\begin{pmatrix} \dfrac{p }{ q}, & \dfrac{r }{ s} \end{pmatrix}$ überführen.

Es gilt daher der folgende Satz.
\begin{Prop}
{3. Satz:} \glqq{}Jeder Substitution $S$ entspricht eindeutig eine Elementarsehne
$\sigma$. Umgekehrt sind jeder Elementarsehne $\sigma$ sechs
$S$-Substitutionen zugeordnet\grqq{}.
\end{Prop}

\Section{§ 24.}{Die Substitutionen $U$ der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$.}

Da eine Verwechslung ausgeschlossen ist, so behalten wir
dieselben Bezeichnungen bei, wie in § 8.

$U$ soll irgend eine Substitution der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$ bezw.\ $\Gamma_1$ bedeuten,
die die Fundamentalsehne $\sigma_0$ in sich transformiert. Unter
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$(\bar{U})$ fassen wir diejenigen Substitutionen $U$ zusammen, die der
Gruppe $\bar{\Gamma_1}$ und unter $(U)$ diejenigen, die der Gruppe $\Gamma_1$ angehören.

Vorerst richten wir unser Augenmerk nur auf die Gruppe $(\bar{U})$.
Die Substitutionen derselben wurden schon im vorigen Paragraphen
angegeben, es sind das die folgenden:
\[\tag{1}\begin{alignedat}{6}
&\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} \rho  & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} \rho^2  & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 0 & -\rho \\ \rho^2 & 0 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 0 & -\rho^2 \\ \rho & 0 \end{pmatrix}\\
&\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} -\rho  & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} -\rho^2 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 0 & \rho \\ \rho^2 & 0 \end{pmatrix},&&
\begin{pmatrix} 0 & \rho^2 \\ \rho & 0 \end{pmatrix}.
\end{alignedat}\]

Durch elementare Rechnung überzeugt man sich auch hier,
dass die Substitutionen (1) eine Gruppe bilden und zwar sind
\[\tag{2}
U_1 = \begin{pmatrix} -\rho & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix}
\text{ und }
U_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\]die Erzeugenden dieser Gruppe. Die allgemeine Substitution derselben
kann
\[
U = U^r_1 U^s_2          \tag{3}
\]
gesetzt werden, wo $r = 0$, 1, 2, 3, 4, 5 und $s = 0$, 1 zu nehmen
sind. --- In der Tabelle (6) ist zu jedem der Systeme (1) die zugehörige
Transformation $U$ in der Gestalt (3) angegeben.

Sind $(a\,b\,b_0\,c)$ bezw.\ $(a\,b_1\,b_2\,c)$ die homogenen Koordinaten
eines Punktes, so soll nun untersucht werden, wie sich dieselben
verändern, wenn man sie einer Transformation $U$ unterwirft.

Erachtet man, dass die konjugiert komplexe zu $\rho \rho^2$ ist, so
ergibt das Formelsystem (3) in § 6, wenn man die Systeme (2)
substituiert
\[\tag{4}\begin{aligned}
U_1 (a\,b\,b_0\,c) &= (a, -\rho^2 b, -\rho b_0, c),\\
U_2 (a\,b\,b_0\,c) &= (c b_0 b a),
\end{aligned}\]
bezw.\ wenn
\[
\rho = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{ 2}          \tag{5}
\]
genommen wird,
\[\tag{4\textprime}\begin{aligned}
U_1 (a, b_1, b_2, c) &= (a, \frac{b_1 - \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{\sqrt{3} b_1 + b_2 }{ 2}, c)\\
U_2 (a, b_1, b_2, c) &= (c, b_1, -b_2, a).
\end{aligned}\]

Um die bezüglichen Formeln für die allgemeine Substitution
%\File{096.png}
$U$ zu erhalten, müssen wir die Transformationen (4) bezw.\ (4\textprime)
so oft wiederholen, als die Indices $r$ und $s$ in (3) angeben.

In der folgenden Tabelle ist nun zu der allgemeinen Substitution
$U$, gegeben in der Gestalt (3), das zugehörige Koeffizientensystem
verzeichnet, sowie die Koordinaten $(a'\,b'_1\,b'_2\,c')$ desjenigen
Punktes, in welchen der Punkt $(a\,b_1\,b_2\,c)$ durch die betreffende
Transformation $U$ übergeführt wird.
\[\tag{6}\begin{alignedat}{2}
U^0_1 &\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
&&(a\,b_1\,b_2\,c)      \\
U_1 &\begin{pmatrix} -\rho & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix}
&&\big(a, \frac{b_1 - \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{\sqrt{3} b_1 + b_2 }{ 2}, c\big)\\
U^2_1 &\begin{pmatrix} \rho^2 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix}
&&\big(a, \frac{-b_1 - \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{\sqrt{3} b_1 - b_2 }{ 2}, c\big)\\
U^3_1 &\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
&&(a, -b_1, -b_2, c)\\
U^4_1 &\begin{pmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{pmatrix}
&&\big(a, \frac{-b_1 + \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{- \sqrt{3} b_1 - b_2 }{ 2}, c)\\
U^5_1 &\begin{pmatrix} -\rho^2 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix}
&&\big(a, \frac{b_1 + \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{- \sqrt{3} b_1 + b_2 }{ 2}, c\big)\\
U_2 &\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
&&(c, b_1, -b_2, a)\\
U_1 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & -\rho \\ \rho^2 & 0 \end{pmatrix}
&&\big(c, \frac{b_1 + \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{\sqrt{3} b_1 - b_2 }{ 2}, a\big)\\
U^2_1 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & \rho^2 \\ \rho & 0 \end{pmatrix}
&&\big(c, \frac{-b_1 + \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{\sqrt{3} b_1 + b_2 }{ 2}, a\big)\\
U^3_1 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \rho \end{pmatrix}
&&(c, -b_1, b_2, a)\\
U^4_1 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & \rho \\ \rho^2 & 0 \end{pmatrix}
&&\big(c, \frac{-b_1 - \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{- \sqrt{3} b_1 + b_2 }{ 2}, a\big)\\
U^5_1 U_2 &\begin{pmatrix} 0 & -\rho^2 \\ \rho & 0 \end{pmatrix}
&&\big(c, \frac{b_1 - \sqrt{3} b_2 }{ 2}, \frac{- \sqrt{3} b_1 - b_2 }{ 2}, a\big).
\end{alignedat}\]

Wie schon im vorigen Paragraphen bemerkt, gehören von
den zwölf obenstehenden Substitutionen $U$,
\[
U^0_1,\ U^2_1,\ U^4_1;\quad  U_1 U_2,\ U^3_1 U_2,\ U^5_1 U_2          \tag{7}
\]
der Gruppe (U) an. Die sechs übrigen
\[
U_1,\ U^3_1,\ U^5_1;\quad  U_2,\ U^2_1 U_2,\ U^4_1 U_2          \tag{8}
\]
%\File{097.png}
gehen gliedweise aus jenen hervor durch Anfügung der Substitution
$U_1$.

An Hand der Tabelle (6) überzeugt man sich von der Richtigkeit
der folgenden Behauptung.

Die Transformation $U_1$ bedeutet eine Umdrehung des Raumes
um die $\theta$-Achse des ursprünglichen Koordinatensystems um 60°,
die Transformation $U_2$ dagegen gibt eine Umklappung des Raumes
um die $\xi$-Achse um 180°.

Man findet daher, dass die Koordinaten von einem und nur
von einem der zwölf Punkte, die einander durch die Tabelle (6)
zugeordnet sind, den Bedingungen genügen
\[\tag{9}
a \geqq c,\quad b_1 + \sqrt{3} b_2 \geqq 0,\quad b_1 - \sqrt{3} b_2 > 0,
\]
ist $a = c$, so soll noch $b_2 \leqq 0$ vorausgesetzt werden.

1. \so{Bemerkung}. Von den zwölf Punkten, die einander aequivalent
sind durch die Substitutionen der Gruppe $(U)$, genügen die
Koordinaten eines und nur eines den Ungleichungen (9).

Fasst man nur die Substitutionen der Gruppe $(U)$ ins Auge,
so gibt es deren sechs (vgl.\ (7) oben). Geht man mit den Transformationen
(7) in Tabelle (6), so findet man

2. \so{Bemerkung}. Von den sechs verschiedenen Punkten, die
einander aequivalent sind durch die Substitutionen der Gruppe (U),
genügen die Koordinaten eines und nur eines den Relationen
\[\tag{10}
a \geqq c,\quad b_1 > 0,\quad b_1 + \sqrt{3} b_2 \geqq 0.
\]
Ist $a = c$, so soll noch $b_1 - \sqrt{3} b_2 \geqq 0$ vorausgesetzt werden.

\pngrightl{008.png}{238}{9}{-24}
Die nebenstehende Figur veranschaulicht
die Bereiche, die durch die Bemerkungen
1 und 2 charakterisiert sind. Man
denkt sich den Punkt $\infty$ der Kugel $\frakK$ durch
Ebenen verbunden mit den Radien $O\,A$ und
$O\,B$. Die obere Hälfte des keilförmigen
Kugelausschnittes, der zum Sektor $A\,O\,B$
gehört, mit Einschluss der Punkte des
Sektors $(A\,O\,1)$ und der Ebene $(\infty\,O\,A)$,
und mit Ausschluss derjenigen der Ebene $(\infty\,O\,B)$ gehören dem
durch die Relationen (9) charakterisierten Bereiche an. --- Nimmt
%\File{098.png}
man endlich die obere Hälfte des Kugelausschnittes, der zum Sektor
$A\,O\,C$ gehört, inklusive der Punkte des Sektors $(A\,O\,B)$ und der
Ebene $(\infty\,O\,A)$, exklusive derjenigen der Ebene $(\infty\,O\,C)$, so erhält
man den durch die Ungleichungen (10) charakterisierten Bereich.

\Section{§ 25.}{Der Diskontinuitätsbereich der Gruppe $\Gamma_1$.}

Wenn man die Untersuchungen in § 9 verfolgt, so erkennt
man leicht, dass die dortigen Resultate zum Teil sich unverändert
von der Gruppe $\Gamma$ auf die neue Gruppe $\Gamma_1$ übertragen lassen.

Man findet, damit die Entfernung des Punktes $(a\,b\,b_0\,c)$ von
der Elementarsehne $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$
ein Minimum werde, muss, wie dort
\begin{gather*}
(a \gamma \gamma_0 - b \alpha_0 \gamma - b_0 \alpha \gamma_0 + c \alpha \alpha_0)
(a \delta \delta_0 - b \beta_0 \delta - b_0 \beta \delta_0 + c \beta \beta_0)    \tag{1}\\
\text{= ein Minimum werden.}
\end{gather*}

Gestützt auf den Hülfssatz § 3 folgt wieder

\begin{Prop}
{1. Satz:} "Ist $P$ ein Punkt im Innern der Kugel $\frakK$, so hat er
von einer oder von mehreren, stets aber nur von endlich
vielen Elementarsehnen eine kleinste Entfernung."
\end{Prop}

Wie in § 10 soll nun die Gesamtheit derjenigen Punkte $(a\,b_1\,b_2\,c)$
bestimmt werden, die von der Fundamentalsehne $(0, \infty)$ einen kleineren
oder doch nicht grösseren Abstand haben, als von jeder andern
Elementarsehne. Wir werden auch hier zeigen, dass der gefundene
Bereich einen Diskontinuitätsbereich der Gruppe $\Gamma_1$ bildet.

Da bei den Transformationen $U$ $\sigma_0$ in sich übergeht, so haben
alle zwölf Punkte, die einander zugeordnet sind durch Tabelle (6)
§ 24, von derselben die nämliche Entfernung. Man könnte sich
daher in den nun folgenden Untersuchungen etwa auf denjenigen
der zwölf Punkte beschränken, dessen Koordinaten den Ungleichungen
(9) § 24 genügen, doch genügt es vorerst, nur an der ersten
jener Bedingungen festzuhalten. --- Wir betrachten also nur solche
Punkte $(a\,b_1\,b_2\,c)$, deren Koordinaten die Bedingung
\[
a \geqq c           \tag{2}
\]
befriedigen. --- Fast wörtlich dieselbe Diskussion wie in § 9 lässt
die Richtigkeit des folgenden Satzes erkennen.
%\File{099.png}
\begin{Prop}
{2. Satz:} \glqq{}Ist $(a\,b_1\,b_2\,c)$ ein innerer Punkt der Kugel $\frakK$, und soll
derselbe von der Sehne $\sigma_0$ eine kleinere oder doch nicht
grössere Entfernung haben, als von jeder andern Elementarsehne
$\sigma$, so müssen seine Koordinaten die Ungleichung
\[
a \mu \mu_0 - b \lambda_0 \mu - b_0 \lambda \mu_0 + c \lambda \lambda_0 \geqq a    \tag{3}
\]
erfüllen. Darin bedeuten $\lambda$ und $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen
aus dem Zahlkörper der dritten Einheitswurzel, die keinen
gemeinschaftlichen Teiler haben und von denen die zweite
$\mu$ nicht gleich Null sein darf. Es ist dabei noch die Voraussetzung
getroffen, dass die Koordinaten des Punktes der
Bedingung (2) genügen.\grqq{}
\end{Prop}

$\dfrac{\lambda }{ \mu}$ ergibt den einen Endpunkt der Elementarsehne $\sigma$; und zwar
ist es für diejenigen Elementarsehnen, die durch den Punkt $\Big(\dfrac{1 }{ 0}\Big)$
hindurchgehen, der andere Endpunkt.

Wir werden nun zeigen, dass die Ungleichung (3) für jede
Elementarsehne $\sigma$ erfüllt ist, wenn sie durch die folgenden sechs
Zahlenpaare $(\lambda\,\mu)$ befriedigt ist,
\[
(1, 1),\quad (1, \rho),\quad (1, \rho^2),\quad (1, -1),\quad (1, -\rho),\quad (1, -\rho^2).
\]
Substituiert man dieselben in (3), so findet man, dass die Koordinaten
$(a\,b_1\,b_2\,c)$ des betrachteten Punktes den folgenden Relationen
Genüge leisten müssen
\[\tag{4}\begin{alignedat}{2}
               c + 2 b_1 &\geqq 0                              &c - 2 b_1 &\geqq 0\\
c + b_1 + \sqrt{3} b_2 &\geqq 0               &c - b_1 - \sqrt{3} b_2 &\geqq 0\\
c + b_1 - \sqrt{3} b_2 &\geqq 0  \qquad\qquad &c - b_1 + \sqrt{3} b_2 &\geqq 0\\
\multispan{4}\hspace*{\stretch{1}}wozu noch tritt\quad  $a \geqq c$.\hspace{\stretch{1}}
\end{alignedat}\]

Der Beweis für die obige Behauptung ist der folgende. Genügen
die Koordinaten eines Punktes den Ungleichungen (4), so
kann man
\[
a = A + |b_1| + \sqrt{3} |b_2|;\quad  c = C + |b_1| + \sqrt{3} |b_2|
\]
setzen, wo
\[
A \geqq C \geqq 0
\]
ist, und wo $|b_1|$ und $|b_2|$ die absoluten Beträge von $b_1$, und $b_2$ bedeuten.
Setzt man diese Ausdrücke für $a$ und für $c$, sowie
%\File{100.png}
$b = \epsilon |b_1| + i \eta |b_2|$ (wo $\epsilon$ und $\eta = ± 1$ sind) in (3) ein, so geht jene
Ungleichung über in
{\footnotesize
\[
\bar{a}(\lambda\,\mu) = \left\{
\begin{gathered}
A \mu \mu_0 + C \lambda \lambda_0 + |b_1| (\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0)\\
+ \sqrt{3} |b_2| \Big[ \Big(1 - \frac{1 }{ \sqrt{3}}\Big) (\lambda \lambda_0 + \mu \mu_0) + \frac{(\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) }{ \sqrt{3}}\Big]
\end{gathered}
\right\}\geqq A + |b_1| + \sqrt{3} |b_2|,          \tag{5}
\]
}
wo $a (\lambda\,\mu)$ die Abkürzung ist für die linke Seite dieser Ungleichung.

Da $\dfrac{1 }{ 2} > 1 - \dfrac{1 }{ \sqrt{3}} > \dfrac{1 }{ 3}$ ist, so erkennt man, dass (5) immer erfüllt
ist, wenn
\begin{gather*}
\mu, \lambda, \mu - \epsilon \lambda \neq 0, 0, 0 \text{ und}\\
\lambda \lambda_0 + \mu \mu_0 \geqq {3}
\end{gather*}
ist. Nach Voraussetzung ist $\mu \neq 0$, es sind daher nur die folgenden
Fälle eingehender zu diskutieren:

\begin{itemize}
\item[a)] $\lambda = 0$, dann ist $\mu = 1$, und man erhält $\bar{a} = A + |b_1|
+ \sqrt{3} |b_2| \Big[1 - \dfrac{1 }{ \sqrt{3}} + \dfrac{1 }{ \sqrt{3}}\Big] = a$.

\item[b)] $\mu - \epsilon \lambda = 0$, in diesem Falle werden $\lambda$ und $\mu$ Einheiten
und zwar, wie man leicht verifiziert, so dass wieder
$(\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) = 2$ wird. Man erhält daher $\bar{a} = A
+ C + \sqrt{3} |b_2| \Big[ \Big(1 - \dfrac{1 }{ \sqrt{3}}\Big) 2 + \dfrac{2 }{ \sqrt{3}}\Big] = A + C + 2 \sqrt{3} |b_2|
= a + c - 2 |b_1|$; und da, wie man aus (4) entnimmt,
$c - 2 |b_1| \geqq 0$ ist, wird auch $\bar{a} \geqq a$.

\item[c)] $\lambda \lambda_0 + \mu \mu_0 = 1$, dies tritt nur dann ein, wenn $\lambda = 0$, $\mu = 1$
ist; dieser Fall ist unter a) erledigt.

\item[d)] $\lambda \lambda_0 + \mu \mu_0 = 2$, hier ist nur noch die Möglichkeit zu diskutieren,
dass $\lambda$ und $\mu$ Einheiten sind.  Nehmen wir
$\lambda = 1$, $\mu = e$ (eine beliebige Einheit aus dem Zahlkörper
der dritten Einheitswurzel) an, es wird dann
\begin{gather*}
(\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0) = 2 - \epsilon (e + e_0);\\
(\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) = 2 + i \eta (e - e_0).
\end{gather*}
\end{itemize}

Wenn $e$ eine reelle Einheit ist, so wird $e + e_0 = ± 2$, $e - e_0 = 0$,
also $(\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0) = 2 ± 2$ und $(\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0) = 2$. Man
%\File{101.png}
findet dann $\bar{a} = A + C + |b_1| (2 ± 2) + \sqrt{3} |b_2| \Big[ \Big(1 - \dfrac{1 }{ \sqrt{2}} \Big) 2 + \dfrac{2 }{ \sqrt{2}}\Big]
= A + C + (2 ± 2) |b_1| + 2 \sqrt{3} |b_2| = a + c ± 2 |b_1|$, woraus man
wieder (zufolge (4)) erkennt, dass $\bar{a} \geqq a$ ist.

Ist $e$ eine komplexe Einheit, so wird $e + e_0 = ± 1$, und $i (e - e_0)
= ± \sqrt{3}$, also $(\mu - \epsilon \lambda) (\mu_0 - \epsilon \lambda_0) = 2 ± 1$; $(\mu + i \eta \lambda) (\mu_0 - i \eta \lambda_0)
= 2 ± \sqrt{3}$; daher erhält man $\bar{a} = A + C + |b_1| (2 ± 1) + \sqrt{3} |b_2|
\Big[ \Big(1 - \dfrac{1 }{ \sqrt{3}}\Big) 2 + \dfrac{2 ± \sqrt{3} }{ \sqrt{3}}\Big] = A + C + |b_1| (2 ± 1) + \sqrt{3} |b_2| (2 ± 1)
= a + c ± |b_1| ± \sqrt{3} |b_2|$. Zufolge (4) übersieht man, dass auch
in diesem Falle $\bar{a} \geqq a$ erfüllt ist.

Dies sind die einzig möglichen ungünstigen Fälle; wir haben
gezeigt, dass auf Grund von (4) in jedem derselben die Ungleichung
(5) und also auch (3) befriedigt bleibt. Der gewünschte
Beweis ist damit erbracht; wir fügen demselben noch die folgende
Bemerkung bei in Form eines Satzes.

\begin{Prop}
{3. Satz:} \glqq{}Sind $(a\,b_1\,b_2\,c)$ die Koordinaten eines Punktes und genügen
dieselben den Ungleichungen (4), so dass an keiner
Stelle, ausgenommen etwa bei $a \geqq c$, das Gleichheitszeichen
eintritt, so hat der betreffende Punkt von der Fundamentalsehne
$\sigma_0$ eine kleinere Entfernung, als von jeder andern
Elementarsehne $\sigma$. --- Tritt dagegen an irgend einer (der
in Betracht kommenden) Stellen statt des Grösserzeichens
das Gleichheitszeichen ein, so hat zwar der Punkt von $\sigma_0$
immer noch eine kleinste Entfernung, aber es gibt dann
und nur dann noch eine oder mehrere andere Elementarsehnen
$\sigma$, von denen der Punkt $(a\,b_1\,b_2\,c)$ dieselbe Entfernung
hat, wie von $\sigma_0$."
\end{Prop}

Der Grenzfall a) oben, wo $\bar{a}$ nur gerade $= a$ wird, scheint
allerdings sich dem eben ausgesprochenen Satze nicht unterwerfen
zu wollen. Nimmt man aber den zweiten, von $\dfrac{0 }{ 1}$ verschiedenen
Endpunkt der Sehne $\sigma$, so wird für diesen, da er nicht mit $\dfrac{1 }{ 0}$ zusammenfallen
kann, sicher $\bar{a} > a$, so dass also auch in diesem Falle
Satz 3 gewahrt bleibt.

Wir fassen nun die Gesamtheit derjenigen Punkte ins Auge,
die den Bedingungen (9) § 24, sowie den Ungleichungen (4) oben
%\File{102.png}
genügen. (Von den letzteren kommt nur noch eine in Betracht.)
Sie ist charakterisiert durch
\[
a \geqq c;\quad b_1 + \sqrt{3} b_2 \geqq 0;\quad b_1 - \sqrt{3} b_2 > 0;\quad c - 2 b_1 \geqq 0.  \tag{B\textsubscript{a}}
\]

\label{fig092}
\pngrightl{009.png}{297}{11}{-24}
Die betreffenden Punkte liegen im Innern und auf der Begrenzung
eines Tetraeders, dessen Seitenflächen in rechtwinkligen
Koordinaten $(\xi\,\eta\,\theta)$ die folgenden Gleichungen haben
\[
\theta = 0;\quad \xi + \sqrt{3} \eta = 0;\quad \xi - \sqrt{3} \eta = 0;\quad 2 \xi + \theta - 1 = 0.
\]

Die Punkte der ersten dieser Seitenflächen gehören nur teilweise,
die der dritten gar nicht dem durch (B\textsubscript{a}) definierten Bereiche
an (vgl.\ (9) § 24).

Es soll nun zu dem eben erwähnten Tetraeder noch dasjenige
hinzugenommen werden, das aus ihm
durch die Substitution $U_1$ hervorgeht.
Die beiden stossen an der Ebene
$\xi - \sqrt{3} \eta = 0$ aneinander und erfüllen
zusammen einen pentaedrischen
Raum $P_0$, dessen Basisfläche aus der
nebenstehenden Figur\footnote{%
  Die obenstehende Figur kann sehr leicht konstruiert werden. Man markiert
  auf dem Kreise die Punkte des regulären Sechseckes $(1, -\rho^2, \rho, -1, \rho^2, -\rho)$
  und verbindet zwei nicht konsekutive und nicht diametral gegenüberliegende Punkte
  durch eine Sehne. Diese umhüllen das innere Sechseck.
  }
ersichtlich ist;
nämlich der Rhombus $(0\,a\,b\,c)$.

Wir wollen den Bereich der zu
$P_0$ gehörenden Punkte durch folgende
Definition genauer umgrenzen.

\Definition. Zum Pentaeder $P_0$ sollen alle Punkte gehören,
die im Innern desselben liegen. Ferner von der \DPtypo{Begrenzug}{Begrenzung} diejenigen,
die den Dreiecken $(\infty\,O\,a)$, $(\infty\,a\,b)$ und $(O\,a\,b)$ angehören.
($\infty$ bedeutet den Punkt $\infty$ der Kugel $\frakK$.) Sie befriedigen die folgenden
Ungleichungen
\[\tag{B}\begin{gathered}
b_1 > 0;\quad b_1 + \sqrt{3} b_2 \geqq 0;\quad c - 2 b_1 \geqq 0;\quad c - b_1 - \sqrt{3} b_2 > 0\\
a > c\text{ und }a = c,\text{ wenn noch }b_1 - \sqrt{3} b_2 \geqq 0\text{ ist}.
\end{gathered}\]

Vergleicht man die Bemerkung 2, § 24, insbesondere die Ungleichungen
(10) dort mit (B) oben, so erkennt man, dass durch die
%\File{103.png}
Substitutionen der Gruppe $(U)$ (vgl.\ (7) § 24) das Pentaeder $P_0$ in
sechs zu ihm aequivalente Räume übergeht, die zusammen ein Dodekaeder
einfach und lückenlos ausfüllen.

Wir wollen dasselbe mit $T'_0$ bezeichnen, es gilt dann der

\begin{Prop}
{4. Satz:} \glqq{}Ist $Q$ ein Punkt von $T'_0$, so gibt es immer einen und
auch nur einen Punkt $Q_0$, der dem Pentaeder $P_0$ angehört,
und der durch eine Substitution der Gruppe $(U)$ aus $Q$ entspringt.\grqq{}
\end{Prop}

Damit ein Punkt $Q$ dem Dodekaeder $T'_0$ angehöre, müssen
seine Koordinaten $(a$ $b_1$ $b_2$ $c)$, wie sich beim Übergang von $P_0$ auf
$T'_0$ ergibt, den folgenden Bedingungen genügen
\[\tag{B\textprime}\begin{alignedat}{2}
a &\geqq 2 |b_1|                           &c &\geqq 2 |b_1|\\
a &\geqq |b_1 + \sqrt{3} b_2|              &c &\geqq |b_1 + \sqrt{3} b_2|\\
a &\geqq |b_1 - \sqrt{3} b_2| \qquad\qquad &c &\geqq |b_1 - \sqrt{3} b_2|.
\end{alignedat}\]

Wir bemerken, dass die Bedingungen (B\textprime) sich nicht vollkommen
decken mit denjenigen, die für $T'_0$ gelten, indem an einzelnen Stellen
die Gleichheitszeichen wegfallen müssten.

Nur bei Anlass der Diskussion des Diskontinuitätsbereiches
der Gruppe $\Gamma_1$ werden wir nochmals Gebrauch machen von $T'_0$,
sonst aber wollen wir als \so{Fundamentaldodekaeder} $T_0$, das
durch die Bedingungen (B\textprime) charakterisierte, ansprechen. --- Wir
erhalten sofort ein anschauliches Bild von $T_0$, wenn wir uns in der
Figur p.~\pageref{fig092} die Seiten des (im Innern des Kreises gelegenen) regulären
Sechseckes durch Ebenen mit den Punkten 0 und $\infty$ der
Kugel $\frakK$ verbunden denken. Die zwölf Ebenen umhüllen ein Dodekaeder,
die Punkte im Innern und auf der Begrenzung desselben
gehören $T_0$ an.

Wenn man die Ungleichungen (4) und (B\textprime) miteinander vergleicht,
so sieht man, dass, wenn die Koordinaten eines Punktes
den Bedingungen (4) genügen, sie dann auch (B\textprime) befriedigen.
Man erhält so aus Satz 3 den folgenden

\begin{Prop}
{5. Satz:} \glqq{}Besitzt der Punkt $(a\,b_1\,b_2\,c)$ von der Fundamentalsehne
$\sigma_0$ eine kleinere Entfernung als von jeder andern
Elementarsehne $\sigma$, so liegt er im Innern des Fundamentaldodekaeders
$T_0$. Besitzt der Punkt von der Sehne $\sigma_0$ immer
noch eine kleinste Entfernung, gibt es aber noch andere
%\File{104.png}
Elementarsehnen, von denen er eine ebenso kleine Entfernung
hat, so liegt er auf der Begrenzung von $T_0$. Zugleich
ist auch die Umkehrung dieser Behauptungen erfüllt.\grqq{}
\end{Prop}

Dass in der Tat auch die Umkehrung der Behauptungen im
ersten Teil des Satzes 5 erfüllt ist, lässt folgende Überlegung erkennen.
Genügen die Koordinaten eines Punktes den Relationen (B\textprime)
und ausserdem der Bedingung $a \geqq c$, so genügen sie auch (4).
Ist aber $a < c$, so unterwerfen wir den Punkt der Transformation
$(U_2)$, wobei seine Entfernung von $\sigma_0$ nicht geändert wird; wie
man sich sofort überzeugt, kommt man dann auf den vorangehenden
Fall, die Umkehrung gilt also unbedingt.

$\sigma_0$ wollen wir die Hauptdiagonale des Fundamentaldodekaeders
$T_0$ nennen.

Jede Substitution, die $T_0$ in sich transformieren soll, muss
auch $\sigma_0$ in sich überführen; es folgt daher
\begin{Prop}
{6. Satz:} \glqq{}Die Substitutionen der Gruppe $(U)$ sind die einzigen
in $\Gamma_1$ enthaltenen, die $T_0$ in sich selber überführen.\grqq{}
\end{Prop}

Ferner gilt

\begin{Prop}
{7. Satz:} \glqq{}Jeder Elementarsehne $\sigma = \begin{pmatrix} \dfrac{\alpha}{\gamma} & \dfrac{\beta}{\delta} \end{pmatrix}$  gehört ein bestimmtes
Dodekaeder $T$ an, das aus $T_0$ durch die Substitution
$S = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ hervorgeht, bezw. durch die Substitutionen $S\,U$,
wo $U$ jede der Transformationen der Gruppe $U$ sein kann.
$\sigma$ ist Hauptdiagonale von $T$ und die Punkte im Innern
und auf der Begrenzung von $T$ besitzen von jeder andern
Elementarsehne eine grössere oder wenigstens eben so
grosse Entfernung wie von der Sehne $\sigma$.\grqq{}
\end{Prop}

\begin{Prop}
{8. Satz:} \glqq{}Die Gesamtheit der Dodekaeder $T$ erfüllt das Kugelinnere
einfach und lückenlos.\grqq{}
\end{Prop}

Der Beweis hierzu ist derselbe wie zu Satz 6 § 10.

\begin{Prop}
{9. Satz:} \glqq{}Ist $Q$ ein Punkt im Innern der Kugel $\frakK$, so gibt es
wenigstens einen Punkt $Q_0$ des Dodekaeders $T_0$, der $Q$
aequivalent ist bezüglich der Gruppe $\Gamma_1$.\grqq{}
\end{Prop}

Es ist dies unmittelbare Folge von Satz 7 und 8.

Entweder gehört der Punkt $Q_0$ bereits nicht nur dem Dodekaeder
$T_0$ an, sondern auch dem Bereiche $T'_0$, oder aber er gehört
%\File{105.png}
diesem letzteren noch nicht an. Nehmen wir an, er gehöre
$T'_0$ noch nicht an, $Q_0$ liegt dann auf einem gewissen Stück der
Begrenzung von $T_0$.

Wenn man die Begrenzung von $T'_0$ (so weit eine solche
überhaupt existiert) genau betrachtet und wenn man beachtet,
dass die Transformationen
\[
\begin{pmatrix} 1 & \epsilon \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{ und }
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \epsilon & 1 \end{pmatrix}
\text{ für } \epsilon = ± 1, ± \rho, ± \rho^2          \tag{6}
\]
der Gruppe $\Gamma_1$, angehören, so findet man, dass durch je eine der
zwölf Substitutionen (6) der betreffende Punkt $Q_0$ übergeführt
wird in einen Punkt $Q'_0$, der nicht nur $T_0$, sondern auch
$T'_0$ angehört. Fasst man anderseits die Begrenzung von $T'_0$ ins
Auge, sowie die Begrenzungen derjenigen zwölf Gebiete $T'$, die
aus $T'_0$ durch die Transformationen (6) entspringen (soweit solche
Begrenzungen vorhanden sind), so erkennt man, dass die betreffenden
Ebenenstücke die Begrenzung von $T_0$ einfach und lückenlos
überdecken.

Aus dieser Bemerkung und ferner aus Satz 4 und 9 folgt
\begin{Prop}
{10. Satz:} \glqq{}Ist $Q$ ein beliebiger Punkt im Innern der Kugel, so
gibt es immer einen und auch nur einen Punkt $Q_0$, der dem
Pentaeder $P_0$ angehört und der $Q$ aequivalent ist durch
eine Substitution der Gruppe $\Gamma_1$.\grqq{}
\end{Prop}

In der Tat kann es auch nicht zwei Punkte $Q_0$ und $Q'_0$ geben,
die diese Eigenschaft besitzen, sonst müssten dieselben einander
aequivalent sein bezüglich einer Substitution $S$, die nicht in $(U)$
vorkommt (vgl.\ 4.~Satz). Durch $S$ ist ein $T'_0$ korrespondierender
Bereich $T'$ bestimmt, der aber, wie wir wissen, keinen Punkt mit
$T'_0$ und also auch keinen mit $P_0$ gemein hat, was auf einen Widerspruch
führt.

Man kann daher das Pentaeder $P_0$ als \so{Diskontinuitätsbereich}
in engerem Sinne der Gruppe $\Gamma_1$, ansprechen. Der
nämliche Umstand wie in § 10 veranlasst uns auch hier, das
Fundamentaldodekaeder $T_0$ in erweitertem Sinne als \so{Diskontinuitätsbereich}
der Gruppe $\Gamma_1$ zu bezeichnen.
%\File{106.png}
\Section{§ 26.}{Die Reduktion der definiten Hermiteschen Form.}

Die Theorie der Reduktion der definiten Hermiteschen Form
durch die Gruppe $\Gamma_1$ ist nichts anderes als eine Übertragung der
Entwicklungen in § 12 u.~ff.\ von der Gruppe $\Gamma$ auf die Gruppe $\Gamma_1$.
Da die Diskussion im wesentlichen dieselbe ist wie dort, so verweisen
wir der Hauptsache nach nur auf jene.

Wir stellen folgende Definition auf.

\Definition. Die definite Hermitesche Form soll dann und
nur dann reduziert heissen (im Sinne der Gruppe $\Gamma_1$), wenn der
Repräsentant derselben dem Fundamentaldodekaeder $T_0$ angehört.

Die Untersuchungen in § 12 können wörtlich in jener Gestalt
hierher übernommen werden, mit der einzigen Modifikation, dass
an Stelle des durch die Ungleichungen (4) dort charakterisierten
Bereichs derjenige tritt, der durch die folgenden Bedingungen definiert
ist,
\[
a \geqq c;\quad b_1 + \sqrt{3} b_2 \geqq 0;\quad b_1 - \sqrt{3} b_2 > 0    \tag{1}
\]
(vgl.\ Bemerkung 1, § 24). Bei der Reduktion soll also von denjenigen
zwölf Punkten, die einander zugeordnet sind, durch die
Substitutionen der Gruppe $(\bar{U})$ immer der ins Auge gefasst werden,
der den Relationen (1) genügt; $(a\,b_1\,b_2\,c)$ sei derselbe.

Ist für ihn nicht zugleich auch
\[
c - 2 b_1 \geq 0      \tag{2}
\]
befriedigt, so gehört er $T_0$ noch nicht an (vgl.\ (B)~§~25), und die
Transformation
\[
N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
die
\[\tag{3}\begin{alignedat}{2}
&a\text{ in }a - 2 b_1 + c  \qquad\qquad       &&b_2\text{ in }b_2\\
&b_1\text{ in }b_1 - c           &&c\text{ in }c
\end{alignedat}\]
übergehen lässt, nähert dann den Repräsentanten der Form der
gewünschten Lage immer, so lange (2) noch nicht erfüllt ist.
Analog wie oben (§ 12) lässt sich zeigen, dass diese Endlage für
jede definite Hermitesche Form nach endlich vielen Operationen
(3) eintritt.

%\File{107.png}
Es sei noch erwähnt, dass es zu einer gegebenen Form $(a\,b\,b_0\,c)$
zwölf im Sinne der Gruppe $\bar{\Gamma_1}$ aequivalente reduzierte Formen gibt;
wir wollen eine solche $(A\,B\,B_0\,C)$ bezw.\ $(A\,B_1\,B_2\,C)$ schreiben. Sie
sind gegeben durch Tabelle (6) § 24, wenn man dort $a, b_1, b_2, c$
ersetzt durch $A, B_1, B_2, C$.

Sollen aus diesen zwölf Formen diejenigen herausgesucht werden,
welche der ursprünglichen Form aequivalent sind bezüglich
der Gruppe $\Gamma_1$, so ist die Diskussion die folgende. Ist $(A\,B_1\,B_2\,C)$
derjenige Punkt, auf welchen wir bei dem oben besprochenen Verfahren
endlich geführt werden, der also insgesamt den folgenden
Bedingungen genügt
\[
A \geqq C;\ B_1 + \sqrt{3} B_2 \geqq 0;\ B_1 - \sqrt{3} B_2 > 0;\ C - 2 B_1 \geqq 0, \tag{4}
\]
so entspricht der successiven Überführung des Repräsentanten
$(a\,b_1\,b_2\,c)$ in $(A\,B_1\,B_2\,C)$ eine Substitution von der Form
\[
R = U^{r_1}_1 U^{s_1}_2 N U^{r_2}_1 U^{s_2}_2 N U^{r_3}_1 U^{s_3}_2 N U^{r_4}_1 \dotsc    \tag{5}
\]

Hier ist nun $|N| = 1$, währenddem $|U_1| = -1$ und $|U_2| = -1$
ist (vgl.\ (2) § 24); es wird also
\[
|R| = (-1)^{r_1 + s_1 + r_2 + s_2 + r_3 + \dotsb},
\]
und man ersieht hieraus folgendes:

\so{Bemerkung.} a) Ist $R$ so, dass $r_1 + s_1 + r_2 + s_2 + r_3 + \dotsb
= 2 n$ ist, wo $n$ eine ganze rationale Zahl ist, so wird $|R| = 1$;
$R$ ist eine Substitution der Gruppe $\Gamma_1$, und es sind
\begin{gather*}
(A, B_1, B_2, C),\qquad  (C, \tfrac{1 }{ 2} (B_1 + \sqrt{3} B_2), \tfrac{1 }{ 2} (\sqrt{3} B_1 - B_2), A);\\
(A, \tfrac{1 }{ 2} (-B_1 - \sqrt{3} B_2), \tfrac{1 }{ 2} (  \sqrt{3} B_1 - B_2), C),\\
(C, \tfrac{1 }{ 2}  (B_1 - \sqrt{3} B_2), \tfrac{1 }{ 2} (- \sqrt{3} B_1 - B_2), A);\\
(A, \tfrac{1 }{ 2} (-B_1 + \sqrt{3} B_2), \tfrac{1 }{ 2} (- \sqrt{3} B_1 - B_2), C),\qquad (C, -B_1, -B_2, A)
\end{gather*}
die zur ursprünglichen aequivalenten reduzierten Formen.

b) Ist aber in $R$ $r_1 + s_1 + r_2 + s_2 + r_3 + \dotsb = 2 n + 1$, wo
$n$ dieselbe Beschaffenheit hat wie oben, dann ist $|R| = - 1$, dagegen
%\File{108.png}
ist dann $|U_1 R| = 1$, d.~h.\ $U_1 R$ ist eine Substitution der
Gruppe $\Gamma_1$, und es werden, wie die Bemerkung, die an (8) § 24
geknüpft wurde, lehrt,
\begin{gather*}
(A, \tfrac{1}{2} (B_1 - \sqrt{3} B_2), \tfrac{1}{2} (\sqrt{3} B_1 + B_2), C),\quad (C, B_1, -B_2, A);\\
(A, -B_1, -B_2, C),\quad (C, \tfrac{1}{2} (-B_1 + \sqrt{3} B_2), \tfrac{1}{2} (\sqrt{3} B_1 + B_2), A);\\
(A, \tfrac{1}{2} (B_1 + \sqrt{3} B_2), \tfrac{1}{2} (-\sqrt{3} B_1 + B_2), C),\\
(C, \tfrac{1}{2} (-B_1 - \sqrt{3} B_2), \tfrac{1}{2} (-\sqrt{3} B_1 + B_2), A)
\end{gather*}
die zugehörigen reduzierten Formen.

Auch hier kann die Anzahl der zur Form $(a\,b\,b_0\,c)$ gehörigen
reduzierten Formen grösser oder kleiner sein als sechs (bezw.\ zwölf),
was dann eintritt, wenn der Repräsentant der reduzierten Form
im Dodekaeder $T_0$ eine besondere Lage einnimmt.

\so{Beispiel.}\footnote{%
  Eine Erläuterung der Tabelle ist nicht mehr notwendig, dieselbe ist konform
  derjenigen in § 13.}

\begin{center}Form $(107, 59-41 \rho, 59-41 \rho^2, 71)$.\end{center}
\[
\begin{array}{rclr|c|rrlr|cc}
a    & b_1          &  \hspace*{2em}b_2                  &  c\ &  U             &\bar{a}&\bar{b_1}&\hspace*{2em}\bar{b_2}&\bar{c}\ &  \bar{a}-2\bar{b_1}+\bar{c}&\bar{b_1}-\bar{c}\\
\hline
107  & 79\tfrac{1}{2} &           -\sqrt{3} · 20\tfrac{1}{2} &  71 &                &    &               &                            &    &  19  &  8\tfrac{1}{2} \\
19   & 8\tfrac{1}{2}  &           -\sqrt{3} · 20\tfrac{1}{2} &  71 &  U^5_1 U_2 & 71 &  35    &\phantom{-}\sqrt{3} · 6            & 19 &  20  &  16 \\
20   & 16             & \phantom{-}\sqrt{3} · 6              &  19 &  U^5_1       & 20 &  17           &   -\sqrt{3} · 5            & 19 &  \phantom{0}5  &  -2 \\
5    & -2             &           -\sqrt{3} · 5              &  19 &  U^4_1 U_2 & 19 &  8\tfrac{1}{2}&   -\sqrt{3} · 1\tfrac{1}{2}&  5 &  \phantom{0}7  &  3\tfrac{1}{2} \\
7    & 3\tfrac{1}{2}  &           -\sqrt{3} · 1\tfrac{1}{2}  &   5 &   U_1        &  7 &  4     &\phantom{-}\sqrt{3} · 1            &  5 &  \phantom{0}4  &  -1 \\
4    & -1             & \phantom{-}\sqrt{3}                  &   5 &   U^2_1 U_2&  5 &  2            &\phantom{000}0              &  4 &      &
\end{array}
\]
\begin{center}Reduzierte Form (5, 2, 0, 4) oder (5, 2, 2, 4).\end{center}

\begin{center}$R = U^2_1 U_2 N U_1 N U^4_1 U_2 N U^5_1 N U^5_1 U_2 N =
\begin{pmatrix} 2 + \rho & -2 \\ 1 + 4 \rho & -3 - 5 \rho \end{pmatrix}.$\end{center}

Wie man sieht, ist in unserem Beispiel $r_1 + s_1 + r_2 + s_2 + \dotsb
= 20$, also folgt aus obenstehender Bemerkung, dass die zu
%\File{109.png}
\begin{center}$(107, 59 - 41 · \rho, 59 - 41 · \rho^2, 71)$\end{center}
aequivalenten reduzierten Formen die folgenden sind
\begin{alignat*}{7}
&(5, & 2, &&    0,&& 4)        \qquad\qquad
                          &(4, & 1, && \sqrt{3}, &&5)\\
&(5, &-1, && \sqrt{3},&& 4)    \qquad\qquad
                          &(4, &-2, &&    0, &&5)\\
&(5, &-1, &&-\sqrt{3},&&\phantom{-}4)    \qquad\qquad
                          &(4, & 1, &&-\sqrt{3},&&\phantom{-}5)&.
\end{alignat*}

Da ausserdem die reduzierte Form $(A\,B_1\,B_2\,C)$ der Bedingung
genügt $C - 2 B_1 = 0$, so liegt der Repräsentant derselben auf der
Begrenzung des Fundamentaldodekaeders $T_0$, und es treten zu den
obigen noch die folgenden weiteren reduzierten Formen hinzu
\begin{alignat*}{7}
&(5, &-2, &&    0,    && 4)   \qquad\qquad
                              &(4, &-1, &&-\sqrt{3},&& 5)\\
&(5, & 1, &&-\sqrt{3},&& 4)   \qquad\qquad
                              &(4, & 2, &&   0, &&5)\\
&(5, & 1, && \sqrt{3},&&\phantom{-}4)   \qquad\qquad
                              &(4, &-1, && \sqrt{3},&& \phantom{-}5)&.
\end{alignat*}

Die transponierte zu
\[
\begin{pmatrix} 2 + \rho & -2 \\ 1 + 4 \rho & -3 - 5 \rho \end{pmatrix}
\text{ also }
\begin{pmatrix} 2 + \rho & 1 + 4 \rho \\ -2 & -3 - 5 \rho \end{pmatrix}
\]
ist eine der Substitutionen, die die ursprüngliche Form in eine
reduzierte Form über\-gehen lassen.

\Section{§ 27.}{Reduktion der Dirichletschen Form.}

Das Prinzip, das der Reduktion der Dirichletschen Form
$(a\,b\,c)$ zugrunde gelegt wird, ist dasselbe wie im Falle der Reduktion
durch die Gruppe $\Gamma$ (vgl.\ § 15 und ff.).

Wir stellen die folgende Definition auf.

\Definition. Die Dirichletsche Form $(a\,b\,c)$ soll reduziert
heissen (im Sinne der Gruppe $\Gamma_1)$, wenn die repräsentierende
Sehne $(a\,b\,c)$ derselben wenigstens einen Punkt mit dem Fundamentaldodekaeder
$T_0$ gemein hat.

Die einzige Modifikation, die gegenüber den Entwicklungen
in § 10 auftritt, ist die durch die Gruppe $(\bar{U})$ bedingte (wie das
schon in § 26 der Fall war, bei der Reduktion der definiten
Hermiteschen Form).

%\File{110.png}
An Hand von (3) § 15 findet man bei Substitution der Systeme
die in (6) § 24 angegeben sind
\[\tag{1}\begin{alignedat}{4}
&(a\,b\,c) U^0_1 &&= (a\,b\,c)                 &&  (a\,b\,c) U_2 &&= (c\,b\,a)\\
&(a\,b\,c) U_1 &&= (\rho^2 · a, -b, \rho c)    &&  (a\,b\,c) U_2 U_1 &&= (\rho^2 c, -b, \rho a)\\
&(a\,b\,c) U^2_1 &&= (\rho · a, b, \rho^2 · c) &&  (a\,b\,c) U_2 U^2_1 &&= (\rho · c, b, \rho^2 · a)\\
&(a\,b\,c) U^3_1 &&= (a, -b, c)                &&  (a\,b\,c) U_2 U^3_1 &&= (c, -b, a)\\
&(a\,b\,c) U^4_1 &&= (\rho^2 · a, b, \rho · c) &&  (a\,b\,c) U_2 U^4_1 &&= (\rho^2 · c, b, \rho · a)\\
&(a\,b\,c) U^5_1 &&= (\rho · a, -b, \rho^2 · c)\quad&&  (a\,b\,c) U_2 U^5_1 &&= (\rho · c, -b, \rho^2 · a)
\end{alignedat}\]
und hieraus berechnet man weiter
\[\tag{2}\begin{alignedat}{4}
&(ab_0 + bc_0) U^0_1 &&= (ab_0 + bc_0)        && (ab_0 + bc_0) U_2 &&= (a_0b + b_0c)\\
&(ab_0 + bc_0) U_1 &&= -\rho^2 (ab_0 + bc_0)  && (ab_0 + bc_0) U_2 U_1 &&= -\rho^2 (a_0b + b_0c)\\
&(ab_0 + bc_0) U^2_1 &&= \rho (ab_0 + bc_0)   && (ab_0 + bc_0) U_2 U^2_1 &&= \rho (a_0b + b_0c)\\
&(ab_0 + bc_0) U^3_1 &&= -(ab_0 + bc_0)       && (ab_0 + bc_0) U_2 U^3_1 &&= -(a_0b + b_0c)\\
&(ab_0 + bc_0) U^4_1 &&= \rho^2 ( ab_0 + bc_0)&& (ab_0 + bc_0) U_2 U^4_1 &&= \rho^2 (a_0b + b_0c)\\
&(ab_0 + bc_0) U^5_1 &&= -\rho (ab_0 + bc_0)\quad  && (ab_0 + bc_0) U_2 U^5_1 &&= -\rho (a_0b + b_0c).
\end{alignedat}\]

Von den zwölf Formen, die einander aequivalent sind bezüglich
der Substitutionen der Gruppe $(\bar{U})$, wählen wir nun immer
diejenige eindeutig bestimmte, deren Koeffizienten den folgenden
Ungleichungen genügen
\begin{multline*}
|c| \geqq |a|;\ -R(ab_0 + bc_0) + \sqrt{3} J(ab_0 + bc_0) \geqq 0;\\
-R (ab_0 + bc_0) - \sqrt{3} J (ab_0 + bc_0) > 0, \tag{3}
\end{multline*}
--- diese Bedingungen treten an Stelle von (2) § 18. --- Sei $(a\,b\,c)$
selber diese Form.

Ist nun der Ausdruck
\[
B = \sqrt{DD_0} + aa_0 + bb_0 + 2 R (ab_0 + bc_0) \geqq 0,   \tag{4}
\]
so ist die Form $(a\,b\,c)$ bereits eine reduzierte. Ist aber (4) nicht
erfüllt, so ersetzen wir
\begin{align*}
&a\text{ durch } a\\
&b\text{ durch } a + b          \tag{5}\\
&c\text{ durch } a + 2 b + c,
\end{align*}
%\File{111.png}
von der neuen Form,
die wir dabei erhalten,
wissen wir, dass ihre
repräsentierende Sehne
sich der gewünschten
Lage angenähert hat
und dass dies immer
statt hat, solange (4)
noch nicht erfüllt ist.
Der Beweis, dass die
gewünschte Endlage
nach endlich vielen
Operationen eintreten
wird, ist vollkommen
derselbe wie in § 18.

Zu dem in nebenstehender
Tabelle durchgeführten
Beispiele der
Reduktion einer Dirichletschen
Form sei noch
folgendes erwähnt.

Wenn man die reellen
und imaginären
Teile von $(ab_0 + bc_0)$
und von
\[
± 1;\quad
± \rho = ± \Big(\frac{-1 + \sqrt{3} · i }{ 2}\Big);\quad
± \rho^2 = ± \Big(\frac{-1 - i \sqrt{3} }{ 2}\Big)
\]
betrachtet, so ersieht
man leicht aus Tabelle
(2), welche der Transformationen
$U$ die vorliegende
Form in diejenige
Form überführt,
deren Koeffizienten den
Ungleichungen (3) genügen; aus Tabelle (1) entnimmt man nachher
die Koeffizienten selber, welche man, so lange als notwendig, der
Operation (5) unterwirft.

\so{Beispiel}\footnote{%
  Der Aufbau der Tabelle ist vollständig derselbe wie in § 19 pg.~\pageref{tab65}.
}

\begin{center}Form $(73 - 81 · \rho,\ -27 + 53 · \rho,\ 8 - 33 · \rho)$.\end{center}
\[
D = 9 + 59 · \rho;\ \sqrt{ DD_0} = 55 + \theta, \text{ wo } 0 < \theta < 1.
\]

{\footnotesize
\[\begin{array}{r@{}lr@{}lr@{}l|rrr@{}l|c|r|r}
a   &            & b    &            & c    &          &aa_0  &  cc_0&   -(ab_0 &+ bc_0)                &    U         &bb_0  &B - \theta\\
\hline
73 &- 81 · \rho   & -27 &+ 53 · \rho  & 8 &- 33 · \rho  &17803   &1417   &11914\tfrac{1}{2} &+ i · 1074\tfrac{1}{2} · \sqrt{3} &  U_2       & 4969  & -17388\\
8  &- 33 · \rho   & -19 &+ 20 · \rho  &27 &- 8 · \rho   &1417    &1009   &2224\tfrac{1}{2}  &+ i · 427\tfrac{1}{2} · \sqrt{3}   &  U_2       &1141   &-2244\\
27 &- 8 · \rho    &  8  &+ 12 · \rho  &-3 &- \rho       &1009    &7      &               24 &+ i · 208 · \sqrt{3}               &  U_2 U_1 & 112   &-474\\
2  &+ 3 · \rho    & -6  &- 9 · \rho   &-6 &+ 14 · \rho  &7       &316    &               96 &- i · 69 · \sqrt{3}                &  U_1       & 63    &-112\\
1  &- 2 · \rho    &  7  &+ 7 · \rho   &-1 &- 4 · \rho   &7       &13     &               21 &                                   &              & 49    &+69
\end{array}\]
}
\begin{center}Reduzierte Form $(1 - 2 · \rho,\ 7 + 7 · \rho,\ -1 - 4 · \rho)$.\end{center}
\[
R = U_2 N U_2 N U_2 U_1 N U_1 N = \begin{pmatrix} \rho^2 & -2 \\ 2\rho^2 & -3 + \rho \end{pmatrix}
\]
%\File{112.png}

Dieselbe Bemerkung, die wir in § 26 an die Substitution $R$
geknüpft haben, gilt auch hier.

Wie man sieht, ist in unserm Beispiel $r_1 + s_1 + r_2 + s_2 + \dotsb
= 5$; es ist daher $|R| = -1$, und
\[
(1 - 2 · \rho, 7 + 7 · \rho, -1 - 4 · \rho)
\]
ist daher nicht eine zu
\[
(73 - 81 · \rho, -27 + 53 · \rho, 8 - 33 · \rho)
\]
aequivalente reduzierte Form im Sinne der Gruppe $\Gamma_1$. Um auf
eine solche zu kommen, müssen wir dieselbe nochmals der Substitution
$U_1$ unterwerfen; es ist dann
\[
(3 + \rho, 7 + 7 · \rho, -4 - 3 · \rho)
\]
eine der gewünschten Formen.

Zum Schlusse sei noch bemerkt, dass die Diskussion der §§ 20
und 21 fast wörtlich auf die Gruppe $\Gamma_1$ übernommen werden kann.
Analog wie in dem letzten der beiden bezeichneten Paragraphen
kann gezeigt werden: Wenn die Dirichletsche Form $(a\,b\,c)$ so beschaffen
ist, dass die Koeffizienten ganze Zahlen aus dem Zahlkörper
der dritten Einheitswurzel sind, so gibt es notwendig immer
solche Transformationen $S$, die die Form in sich überführen, wobei
$S$ von der identischen Substitution verschieden vorausgesetzt
ist. (Wie leicht verifiziert werden kann, tritt in den Bedingungen
$a$ und $b$ § 21 an Stelle von $\sqrt{2} \sqrt{3}$.)

\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}

Den Gedanken, welchen die vorliegende Arbeit verfolgt, d.~i.\
die Begründung der Theorie der Transformationen einer Form auf
eine projektive Invariante, verdanke ich meinem verehrten Lehrer
Herrn Prof.\ Dr.~A. \so{Hurwitz}. --- Hierfür, wie auch für die übrigen
freundlichen Ratschläge, möchte ich ihm an dieser Stelle herzlich
danken.

\pngcent{010.png}{296}

\newpage
\small
\pagenumbering{Roman}
\begin{verbatim}
\end{document}





End of the Project Gutenberg EBook of Über die Picard'schen Gruppen aus dem
Zahlkörper der dritten und der vierten Einheitswurzel, by Otto Bohler

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÜBER DIE PICARD'SCHEN ***

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paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
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works.  See paragraph 1.E below.

1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
collection are in the public domain in the United States.  If an
individual work is in the public domain in the United States and you are
located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
copying, distributing, performing, displaying or creating derivative
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are removed.  Of course, we hope that you will support the Project
Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by
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Gutenberg-tm License when you share it without charge with others.

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phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project
Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed,
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This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
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with this eBook or online at www.gutenberg.org

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from the public domain (does not contain a notice indicating that it is
posted with permission of the copyright holder), the work can be copied
and distributed to anyone in the United States without paying any fees
or charges.  If you are redistributing or providing access to a work
with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the
work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1
through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the
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1.E.9.

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with the permission of the copyright holder, your use and distribution
must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional
terms imposed by the copyright holder.  Additional terms will be linked
to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the
permission of the copyright holder found at the beginning of this work.

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License terms from this work, or any files containing a part of this
work or any other work associated with Project Gutenberg-tm.

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electronic work, or any part of this electronic work, without
prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
active links or immediate access to the full terms of the Project
Gutenberg-tm License.

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compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any
word processing or hypertext form.  However, if you provide access to or
distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than
"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version
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copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon
request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other
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unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.

1.E.8.  You may charge a reasonable fee for copies of or providing
access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided
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- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
     the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
     you already use to calculate your applicable taxes.  The fee is
     owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
     must be paid within 60 days following each date on which you
     prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
     sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
     address specified in Section 4, "Information about donations to
     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."

- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
     you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
     does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm
     License.  You must require such a user to return or
     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
     and discontinue all use of and all access to other copies of
     Project Gutenberg-tm works.

- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
     of receipt of the work.

- You comply with all other terms of this agreement for free
     distribution of Project Gutenberg-tm works.

1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
works, and the medium on which they may be stored, may contain
"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual
property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by
your equipment.

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of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
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liability to you for damages, costs and expenses, including legal
fees.  YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
PROVIDED IN PARAGRAPH 1.F.3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
DAMAGE.

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defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
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written explanation to the person you received the work from.  If you
received the work on a physical medium, you must return the medium with
your written explanation.  The person or entity that provided you with
the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
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providing it to you may choose to give you a second opportunity to
receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
opportunities to fix the problem.

1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.

\end{verbatim}
% Syntax is control word, for each argument: 1=Mandatory/0=Optional, 1=Keep/0=Delete, opening replacement, closing replacement, ...
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% \end{document}                                                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
%                                                                         %
%                                                                         %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Über die Picard'schen Gruppen aus dem
% Zahlkörper der dritten und der vierten Einheitswurzel, by Otto Bohler   %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÜBER DIE PICARD'SCHEN ***       %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration
@ControlwordReplace = (
  ['\Definition',"Definition"],
  );
@ControlwordArguments = (
  ['\\Chapter',1,1,'',''],
  ['\\DPnote',1,0,'',''],
  ['\\DPtypo',1,0,'','',1,1,'',''],
  ['\\pngcent',1,0,"\n[Illustration","]\n",1,0,'',''],
  ['\\pngrightl',1,0,"\n[Illustration","]\n",1,0,'','',1,0,'','',1,0,'',''],
  ['\\Section',1,1,'',"\n",1,1,'',''],
  ['\\textsubscript',1,1,' ',''],
  );

###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  4 OCT 2010 05:22
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**34032-t.tex
(./34032-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
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\bibindent=\dimen102
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Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
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File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen104
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen105
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count89
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count90
\leftroot@=\count91
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count92
\DOTSCASE@=\count93
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen106
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count94
\c@MaxMatrixCols=\count95
\dotsspace@=\muskip10
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\lineht@=\dimen112
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks21
\footnotemargin=\dimen113
\c@pp@next@reset=\count101
\c@@fnserial=\count102
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 74, version
               `2009/09/15' of package footmisc,
               but only version
               `2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks22
\SOUL@lasttoken=\toks23
\SOUL@cmds=\toks24
\SOUL@buffer=\toks25
\SOUL@token=\toks26
\SOUL@spaceskip=\skip46
\SOUL@ttwidth=\dimen114
\SOUL@uldp=\dimen115
\SOUL@ulht=\dimen116
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks27
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count103
))
\Gin@req@height=\dimen117
\Gin@req@width=\dimen118
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen119
\WF@size=\dimen120
\c@WF@wrappedlines=\count104
\WF@box=\box28
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Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
\every@verbatim=\toks29
\verbatim@line=\toks30
\verbatim@in@stream=\read1
)
\c@mysection=\count105
\c@wrapwidth=\count106
\Zw=\count107
\Zh=\count108
LaTeX Info: Redefining \so on input line 181.
(./34032-t.aux)
\openout1 = `34032-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 184.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 184.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 184.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 184.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 184.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 184.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 184.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 184.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 184.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 184.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 184.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 184.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
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File: images/002.png Graphic file (type png)
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py)>]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 348.
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File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 348.
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File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 352.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 352.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 362.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [3]
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <14.4> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 425.
[4] <images/003.png, id=34, 39.62805pt x 39.0258pt>
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[15] [16] [17] [18] [19] [20] <images/005.png, id=96, 33.4851pt x 33.4851pt>
File: images/005.png Graphic file (type png)
<use images/005.png>
Underfull \hbox (badness 1354) in paragraph at lines 1550--1562
[][]\OT1/cmr/m/n/12 Die ne-ben-ste-hen-de Fi-gur ver-an-schau-licht den Be-
 []


Underfull \hbox (badness 1400) in paragraph at lines 1550--1562
\OT1/cmr/m/n/12 reich, dem die be-tref-fen-den Punk-te an-geh[]oren. Man
 []


Underfull \hbox (badness 2293) in paragraph at lines 1550--1562
\OT1/cmr/m/n/12 Ebe-nen mit den Ra-di-en $\OML/cmm/m/it/12 O A$ \OT1/cmr/m/n/12
 und $\OML/cmm/m/it/12 O B$\OT1/cmr/m/n/12 . Die obe-re
 []

[21 <./images/005.png (PNG copy)>] [22] [23] [24] [25] [26] <images/006.png, id
=118, 42.03705pt x 36.6168pt>
File: images/006.png Graphic file (type png)
<use images/006.png> [27] [28 <./images/006.png (PNG copy)>] [29] [30] [31] [32
] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [4
8] [49] [50] [51] [52] [53]
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 3824.

[54] [55] [56] <images/007.png, id=218, 30.71475pt x 24.69225pt>
File: images/007.png Graphic file (type png)
<use images/007.png> [57 <./images/007.png (PNG copy)>] [58] [59] [60] [61] [62
] [63] [64] [65] [66] [67] <images/008.png, id=256, 28.6671pt x 28.06485pt>
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<use images/010.png> [79 <./images/010.png (PNG copy)>] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[7] [8] (./34032-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
verbatim.sty    2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
supp-pdf.tex
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images/002.png
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    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
  omscmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
images/003.png
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images/010.png
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
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 33923 string characters out of 1165154
 96351 words of memory out of 1500000
 6017 multiletter control sequences out of 10000+50000
 18727 words of font info for 71 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 27i,14n,24p,262b,287s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
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-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb>
</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-tex
live/fonts/type1/bluesky/cm/cmssbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmtt10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb>
Output written on 34032-t.pdf (87 pages, 552368 bytes).
PDF statistics:
 396 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
 0 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 111 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

